рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ Пусть Даны Три Вектора ...

Пусть даны три вектора . Так как для векторов введены два вида произведений – скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции умножения существуют следующие виды произведений:

1) двойное векторное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем векторное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение , затем – векторное произведение ;

2) смешанное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем скалярное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение , затем – скалярное произведение .

Двойное векторное произведение обозначается в форме или в форме .

Ясно, что результатом двойного векторного произведения является вектор.

Смешанное или иначе векторно-скалярное произведение обозначается символом или символом . Результатом смешанного произведения является число.

Пусть требуется определить смешанное произведение векторов, если известны координаты этих векторов

, , .

Вычислим предварительно . Имеем

Воспользовавшись формулой (57), найдем

Полученное равенство, согласно теореме о разложении определителя по элементам строки, можно переписать в форме

. (62)

Формула (62) дает возможность для смешанного произведения в координатной форме. Заметим, что в этой формуле координаты векторов записаны соответственно в первой, второй и третьей строках определителя.

Покажем, что для смешанного произведения векторов справедливы равенства

. (63)

Проверим, например, справедливость равенства . Согласно формуле (62) имеем

Как известно, при перестановке двух строк определителя знак определителя меняется на противоположный. Тогда, умножая обе части предыдущего равенства на (-1), получим

Итак, .

Формулы (63) проще всего запомнить с помощью правила круговой перестановки векторов, сущность которого пояснена на рис.25 и 26.

Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов

. Отложим векторы

от общего

начала и построим на этих векторах, как на ребрах, параллелепипед (рис.27). Пусть . Тогда, согласно определению векторного произведения векторов, модуль вектора равен площади gараллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах. Следовательно,

где ^и .

Обозначим через высоту параллелепипеда, опущенную из конца вектора на рассматриваемый параллелограмм, и выясним смысл произведения . Вектор перпендикулярен плоскости параллелограмма, тогда

, если и

, если .

Следовательно, если есть объем параллелепипеда, то

, если и

, если .

Итак, или . (64)

Равенство (64) означает, что модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.

Следствие (условие компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимы и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. или в координатной форме

. (65)

Необходимость. Пусть векторы компланарны. Тогда вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены данные векторы, следовательно, перпендикулярен вектору . Поэтому

. Следовательно, .

Достаточность. Пусть таковы, что .

Если предположить, что векторы не компланарны, то на них можно построить параллелепипед с объемом . Но, согласно формуле (64), . Следовательно, или , что противоречит исходному утверждению.

ПРИМЕР 20.1. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках .

Решение. Построим три вектора

с общим началом точкой . На этих векторах, как на ребрах, построим параллелепипед. Его объем равен . Объем пирамиды составляет шестую долю объема параллелепипеда. Следовательно,

Ответ: 3.

Из геометрического смысла смешанного произведения векторов и рассмотренного примера следует, что оно широко используется при вычислении объемов любых многогранников.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ... Равенство матриц... Две матрицы А и В называются равными А В если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Прямоугольная таблица, составленная из чисел, называется матрицей. Дл

Сложение матриц.
Пусть даны матрицы А=(aij) и В=(bij), имеющие одинаковые размеры .

Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А=(аij) размеров на число l называется матрица В=

Умножение матриц.
Пусть заданы матрица А размеров и матрица в размеров

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица второго порядка . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Опреде

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка .

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Пусть дана квадратная матрица А порядка n. . ОПРЕДЕ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):

МЕТОДОМ ГАУССА.
Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными: (27)

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найт

СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами. ложение векторов.

ВЕКТОРА НА ОСЬ.
Пусть заданы векторы и

ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ. БАЗИС.
Пусть заданы векторы и числа

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.
Пусть в пространстве векторы

ЗАДАННЫМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ.
Пусть векторы и

Задачи определения расстояния между двумя точками.
Пусть в пространстве

Задача деления отрезка в данном отношении.
Пусть даны две точки и

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Пусть даны два вектора и

Свойства скалярного произведения векторов.
1) ; 2) , ес

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением вектора на вектор

II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Введение. Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки явл

Уравнение прямой по двум точкам.
Пусть на плоскости даны две точки

Окружность.
В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:

ГИПЕРБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных

ПАРАБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ

Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осями координат.
Рассмотрим предварительно одну из частных задач преобразования системы координат. Пусть на плоскости введены две прямоугольные декартовы системы координат

Исследование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат.
Пусть задано общее уравнение кривой второго порядка (12) при , т.е. уравнение вида

Неравенства второй степени относительно двух переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1. Неравенство (или

Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Положение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости по трем точкам.
Пусть в пространстве даны три точки

Общее уравнение плоскости.
Пусть задано произвольное алгебраическое уравнение первой степени относительно переменных

Угол между плоскостями.
Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости

Уравнение прямой по двум ее точкам.
Пусть прямая проходит через данные точки

Общие уравнения прямой.
Пусть в пространстве даны своими уравнениями

Угол между двумя прямыми.
Пусть в пространстве даны две прямые

Угол между прмой и плоскостью.

Точка пересечения прямой с плоскостью.
Пусть прямая пересекает плоскость

Поверхности второго порядка.
В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:

Цилиндрические поверхнсоти.
Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки ли

Эллипсоид.
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с р

Эллиптический параболоид.
Пусть задано уравнение , где

Однополостный гиперболоид.
Однополостным гиперболоидом назвается поверхность, определяемая уравнением

Двуполостной гипрболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная уравнением