З ДИСЦИПЛІНИ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА

Мамонов К.А., Скоков Б.Г., Чечетова Н.Ф.

 

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

З ДИСЦИПЛІНИ

«ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ»

(для студентів напряму 0305 «Економіка і підприємництво», спеціальності 6030509 «Облік і аудит»)

 

 

Харків - 2009

Мамонов К.А., Скоков Б.Г., Чечетова Н.Ф.Навчальний посібник з дисципліни «Економіко-математичне моделювання» (для студентів напряму 0305 «Економіка і підприємництво», спеціальності 6030509 «Облік і аудит»). – Харків: ХНАМГ, 2009. – 231 с.

 

Рекомендовано кафедрою обліку і аудиту

Протокол № від

Рецензенти: доцент, к.е.н. Димченко В.В.

професор, д.е.н. Гриньова В.М.

професор, д.е.н. Тридід О.М.

 

 

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………….
Загальна характеристика дисципліни……………………………………………...
Робоча програма курсу……………………………………………………………...
Змістовий модуль 1. Організація економіко-математичного моделювання…….
Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки……...
Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі…………………………...
Змістовий модуль 2. Лінійне програмування в економічних процесах…………
Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування…………...
Тема 4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач
Змістовий модуль 3. Цілочислове програмування і нелінійні оптимізаційні моделі…………………………………………………………………………………
Тема 5. Цілочислове програмування……………………………………………….
Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем……………………
Змістовий модуль 4. Оцінка і управління ризиком в економіці………………….
Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці……………………………….
Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику…………..
Змістовий модуль 5. Економетричне моделювання………………………………
Тема 9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія.
Тема 10. Лінійні моделі множинної регресії………………………………………
Тема 11. Узагальнені економетричні моделі………………………………………
Тема 12. Економетричні моделі динаміки…………………………………………
Приклад тестових завдань…………………………………………………………..
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………………………….

 

ВСТУП

Загальна характеристика дисципліни

В сучасних економічних умовах господарювання України формування фундаментальних засад розвитку підприємств є актуальним завданням. В цьому аспекті виникає необхідність використання інструментарію, який органічно поєднує математичні методи для вирішення економічних проблем з метою отримання кількісних оцінок і моделей в процесі прийняття ефективних управлінських рішень.

Для спеціалістів з напряму «Економіка і підприємництво» запропонована дисципліна «Економіко-математичне моделювання». В умовах трансформаційних процесів вивчення цієї дисципліни дає можливість спеціалістам в цій сфері заволодіти сучасними інструментами і підходами для формування фінансової й економічної політики, укріплення потенціалу підприємства та виробничої бази.

Зміст курсу «Економіко-математичне моделювання» для студентів з напряму «Економіка і підприємство» представлено в темах:

1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки.

2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі.

3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.

4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.

5. Цілочислове програмування.

6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.

7. Аналіз та управління ризиком в економіці.

8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику.

9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія.

10. Лінійні моделі множинної регресії.

11. Узагальнені економетричні моделі.

12. Економетричні моделі динаміки.

В рамках цього курсу виділяють 5 змістових модулів:

Організація економіко-математичного моделювання.

Лінійне програмування в економічних процесах.

Цілочислове програмування і нелінійні оптимізаційні моделі.

Оцінка і управління ризиком в економіці.

Економетричне моделювання.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен

Знати:

v Основні підходи до організації аналітичної роботи на підприємстві.

v Застосування методику і техніку економіко-математичного моделювання в фінансово-господарській діяльності.

v Особливості проведення економіко-математичного моделювання на вітчизняних підприємствах в сучасних економічних умовах господарювання.

v Інформаційно-методичне забезпечення економіко-математичного моделювання.

v Місце та роль економіко-математичного моделювання в системі управління економікою підприємства.

Вміти:

v Використовувати інструментарій економіко-математичного моделювання для прийняття управлінських рішень.

v Застосовувати методи економіко-математичного моделювання в економічних процесах.

v Проводити економіко-математичне моделювання на підприємстві.

v Застосовувати результати економіко-математичного моделювання для прийняття управлінських рішень.

v На основі розроблених економіко-математичних моделей, будувати ефективно діючий організаційно-економічний механізм управління підприємством.

Робоча програма курсу

Метою вивчення курсу є формування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів економіко-математичних моделей.

Завданнями курсу «Економіко-математичне моделювання» є вивчення основних принципів та інструментарію постановки задач, побудови економіко-математичних моделей, методів їх розв’язування та аналізу з метою використання в економіці.

Предметом курсу виступають методологія та інструментарій побудови і розв’язування детермінованих оптимізаційних задач.

Змістовий модуль 1

Організація економіко-математичного моделювання

Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки:

Визначення економіко-математичного моделювання. Ретроспективний аналіз розвитку економіко-математичного моделювання. Види моделей. Основні етапи моделювання. Випадкові події і величини, їх числові характеристики. Закони розподілу випадкової величини. Статистичні гіпотези та їх перевірка. Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації.

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі:

Особливості економіко-математичних моделей оптимізації. Модель оптимального планування виробництва. Економіко-математичні моделі оптимізації випуску продукції підприємствами. Економіко-математичні моделі розподілу фінансових ресурсів. Розподіл капітальних вкладень по проектах. Задачі безумовної та умовної оптимізації та методи їх розв'язування.

Змістовий модуль 2

Лінійне програмування в економічних процесах

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування:

Сутність лінійного програмування. Особливості задач лінійного програмування. Основні методи розв’язування задач лінійного програмування. Практичні аспекти вирішення задач лінійного програмування.

Тема 4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач:

Теорія достовірності в економіко-математичному моделюванні.Достовірність. Міра достовірності результатів моделювання. Критерії оцінки достовірності результатів дослідження. Характеристика статистичної несуперечності. Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Область допустимих рішень. Критерії оптимальності. Інтерпретація отриманих економічних результатів на основі аналізу лінійних моделей оптимізаційних задач.

 

Змістовий модуль 3

Цілочислове програмування і нелінійні оптимізаційні моделі

Тема 5. Цілочислове програмування:

Основні поняття і сутність цілочислового програмування. Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування. Метод Гомори. Метод віток і меж. Транспортна задача, її математичне формулювання і алгоритм вирішення.

Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем:

Сутність нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем. Використання нелінійних оптимізаційних моделей в економічних процесах. Методи формування нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем.

 

Змістовий модуль 4

Оцінка і управління ризиком в економіці

Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці:

Поняття, сутність і зміст невизначеності й ризику. Підходи до управління ризиком. Етапи процесу управління ризиком. Аналіз управління ризиком в економіці.

Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику:

Напрями кількісного оцінювання ступеня ризику. Оцінка ризику в абсолютному вираженні. Оцінка ризику у відносному ризику. Допустимий та критичний ризик. Оцінка ризику ліквідності.

 

Змістовий модуль 5

Економетричне моделювання

Принципи побудови економетричних моделей. Критерії адекватності економетричної моделі. Сутність мультиколінеарності, напрями її виявлення. Парна… Тема 10. Лінійні моделі множинної регресії: Кількісна регресійна модель множинної регресії. Етапи побудови лінійної моделі множинної регресії. t-критерій…

Змістовий модуль 1

Організація економіко-математичного моделювання

Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки

1.1. Визначення економіко-математичного моделювання. Види моделей. Основні етапи моделювання.

1.2. Випадкові події і величини, їх числові характеристики.

1.3. Закони розподілу випадкової величини.

1.4. Статистичні гіпотези та їх перевірка.

1.5. Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації.

 

Поняття: економіко-математичне моделювання; модель; подія; випадкова величина; закон розподілу випадкової величини; випадкові помилки; система; імітація; економіко-математичні моделі.

Література: [5], [13], [14], [22], [23], [24], [26], [27], [37], [38], [39], [40], [49], [53], [61], [63], [64], [65], [67], [70], [72], [74], [78], [79], [80].

 

Визначення економіко-математичного моделювання. Види моделей. Основні етапи моделювання

Економіко-математичне моделювання - це дисципліна, в якій поєднуються математичні методи для вирішення економічних завдань. Теоретичним базисом… Моделювання процесів в різних сферах діяльності людини здійснювалось ще з… Обґрунтування використання математичних методів в економіці починається з У. Петі (1623 – 1687 р.р.). В передмові до…

Випадкові події і величини, їх числові характеристики

З позиції теорії пізнання спостережувані в природі й суспільстві явища можна підрозділити на наступні види: - достовірні (визначені), які обов'язково відбудуться, якщо буде здійснена… - неможливі, які явно не відбудуться в певних умовах;

Закони розподілу випадкової величини

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними… Найпростішою формою завдання такого закону служить таблиця, в якій… Таблиця 1.3. Значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності Х1 Х2 Х3 ... …

Статистичні гіпотези та їх перевірка

Грубі помилки за абсолютними величинами значно відрізняються від всього ряду помилок і підлягають виключенню з ряду спостережень. Систематичні помилки є наслідком впливу певних чинників, що спотворюють… Випадковими називають такі помилки, характер зміни яких не володіє видимою закономірністю. Кожна подальша помилка за…

Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації

Економічні явища утворюються не як результат однозначного зв'язку причин і наслідку, а як результат складного переплетіння і взаємодії багатьох… Економіко-математичному моделюванню передує чітке уявлення суті вирішуваної… - вивчити літературу і узагальнити професійні знання про об'єкт дослідження;

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі

2.1. Сутність економіко-математичних моделей оптимізації.

2.2. Загальна характеристика задач математичного програмування.

2.3. Види економіко-математичних моделей оптимізації.

Поняття: оптимізаційна задача; математичне програмування; методи математичного програмування; система обмежень в економіко-математичних моделях оптимізації; види економіко-математичних моделей оптимізації.

Література: [4], [5], [12], [16], [23], [26], [37], [40], [61], [63].

 

Сутність економіко-математичних моделей оптимізації

На якому рівні не знаходилося суспільне виробництво, які великі не були трудові, матеріальні й фінансові ресурси, перед господарськими керівниками… Уперше подібна задача у вигляді пропозиції щодо укладання національного плану… Одну з різновидів транспортної задачі в 1941 р. поставив американець Хічкок (проблема Хічкока). Але закінченого методу…

Загальна характеристика задач математичного програмування

Математичне програмування відіграє винятково важливу роль у підготовці фахівців економічного профілю. Використання математичних методів економічній… Вираз "математичне програмування" слід розуміти як ітераційний пошук… Прикладами, що наочно ілюструють корисність і необхідність знання методів математичного програмування, можуть бути…

Види економіко-математичних моделей оптимізації

1. Економіко-математичні моделі оптимізації випуску продукції. 2. Економіко-математичні моделі розподілу фінансових ресурсів по оптимізації… 3. Економіко-математична модель розподілу капітальних вкладень.

Питання та завдання для самоконтролю до змістового модуля 1

Питання для самоконтролю:

1. Що таке економіко-математичне моделювання?

2. Назвіть етапи розвитку економіко-математичного моделювання?

3. Визначте поняття «Модель» і які види моделей Ви можете назвати.

4. Назвіть основні етапи моделювання?

5. Які види явищ Ви знаєте?

6. Визначте випадкову величину і її числову характеристику?

7. Назвіть і охарактеризуйте закони розподілу випадкової величини?

8. Як перевіряють статистичні гіпотези?

9. Назвіть етапи попередньої обробки інформації?

10. Охарактеризуйте оптимізаційні моделі і назвіть їх види.

11. В чому полягають задачі умовної і безумовної оптимізації.

12. Які методи використовуються для вирішення задач умовної і безумовної оптимізації і в чому вони полягають.

13. В чому полягають економіко-математичні моделі оптимізації випуску продукції, розподілу фінансових ресурсів по оптимізації зростання потужностей підприємства, розподілу капітальних вкладень по проектам.

Завдання для самоконтролю:

1. Встановити, при якому обсязі спостережень n вибірка є генеральною сукупністю, якщо Р=0,95 або 95%, =0,80 і =4,18?

2. Є вибірка обсягом n=100 спостережень. Середнє значення по вибірці = 10,12; середнє квадратичне відхилення =5,12; рівень значущості =0,05; максимальне значення ознаки у_mах=26,16; мінімальне - у_mіn=3,09. Визначити можливість використання в подальших дослідженнях у_mах і у_mіn.

3. По двох об'єктах зібрана інформація з наступними кількісними характеристиками: n₁=45; n₂=46; ₁=15,17; ₂=12,5; σ_y1²=61,4; σ_y2²=55,6. Визначте рівень значимості при формуванні гіпотези про однорідність сукупності вибіркових даних.

4. Визначити закон розподілу витрат часу проходження рухомим складом маршруту між двома зупинками (хвил.) при n=190 спостережень і y_min=0,50 хв., y_max=1,46 хв. Розмір інтервалу складає 0,1. Побудуйте гістограму і полігон розподілу. Розрахуйте показники нормального закону розподілу.

5. Знайдіть екстремум функції випуску продукції у вигляді у = f(x) аналітичним методом.

6. Знайдіть екстремум функції у = х₁ + х₂ за умови х₁ + х₂ - 1 = 0 або розв’яжіть задачу на умовний екстремум методом Лагранжа.

Зиістовий модуль 2

Лінійне програмування в економічних процесах

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування

 

3.1. Сутність і методи лінійного програмування.

3.2. Особливості задач лінійного програмування та практичні аспекти їх вирішення.

3.3. Транспортна задача. Математичне формулювання і алгоритм вирішення.

 

Поняття: лінійне програмування; симплекс-метод; метод внутрішніх крапок; цільова функція; класична модель транспортної задачі; математична модель реальної транспортної задачі; метод північно-західного кута

Література: [14], [26], [29], [47], [50], [56], [61], [63], [64], [67], [80]

 

Сутність і методи лінійного програмування

Лінійне програмування використовує математичний інструментарій, який базується на теорії і методах вирішення задач про екстремуми лінійних функцій,… Найбільш універсальним методом є диференціальний алгоритм, логічно випливає з… Методичною основою обчислювальних процедур будь-якого методу є принцип аналізу і послідовного поліпшення деякого…

Особливості задач лінійного програмування та практичні аспекти їх вирішення

1. Цільова функція є зваженою лінійною сумою від невідомих змінних xi вигляду: . (3.7) де ci – коефіцієнти цільвої функції. Таку цільову функцію часто називають лінійною формою.

Транспортна задача. Математичне формулювання і алгоритм вирішення

В аспекті вирішення задач лінійного програмування розглянемо математичне формулювання і алгоритм розв’язання транспортної задачі.

Змістовна постановка задачі: Однорідний продукт, зосереджений у m пунктах відправлення в кількостях а₁, а₂, ... а_m одиниць відповідно, необхідно доставити в кожний із n пунктів призначення в кількості b₁, b₂, ... b_n одиниць відповідно. Вартість (відстань) перевезення одиниці продукту з i-го пункту відправлення j-й пункт призначення дорівнює с_ij і відома для кожного маршруту. Нехай x_ij - кількість продукту, перевезеного з і-ro пункту відправлення в j-й пункт призначення. Задача полягає у визначенні таких розмірів x_ij для всіх маршрутів, при яких сумарна вартість (відстань) перевезень була б мінімальною.

Математична модель задачі:

Позначимо:

с_ij - тарифи (вартість, час, відстань) перевезення одиниці вантажу з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення;

a_i - запаси вантажу в i-му пункті відправлення;

b_і — потреба у вантажі в j-му пункті призначення;

x_ij - кількість одиниць вантажу, перевезеного з 1-го пункту відправлення в j-й пункт призначення.

Тоді математична модель транспортної задачі про планування перевезень має такий вигляд:

_{m n}

y=∑∑c_ijx_ij→min; (3.9)

^{i=1 j=1 x}_ij^ÎΩ

_{m ____}

Ω: f_j=∑x_ij=b_i, j=1,n; (3.10)

ⁱ⁼¹

_{n ____}

f_n+i=∑x_ij=a_i, i=1,m; (3.11)

^j=1 _{_______ _______}

x_ij≥0; i=1,m; i=1,m. (3.12)

Тут (3.9) - цільова функція, що визначає вартість перевезень усього вантажу. Саме екстремальне (мінімальне) значення цієї функції необхідно знайти в задачі. Причому значення змінних х_ij, при яких цільова функція досягає свого мінімуму, повинні належати області припустимих рішень Ω.

Вирази (3.10) - (3.12) визначають область припустимих рішень Ω. При цьому вираз (3.10) відбиває потреби у вантажі в пунктах призначення, вираз (3.11) визначає запаси вантажів у пунктах відправлення, а вираз (3.12) відокремлює негативну область значень х_ij, в яку дані змінні не можуть потрапляти за своїм фізичним змістом.

Вирази (3.10)-(3.12) називаються обмеженнями задачі лінійного програмування. Вирішення задачі (частковий набір значень змінних x_i) називається припустимим, якщо воно одночасно задовольняє всім 1 обмеженням задачі. Вирішення задачі називається оптимальним, якщо воно забезпечує оптимум (у даному випадку мінімум) функції цілі.

Вважатимемо, що функції y,f₁,f₂, ... ,f_n - неперервні лінійні функції, задані на невід'ємному ортанті евклідового простору Rⁿ. Дані функції мають місце, коли перевезений вантаж є рідиною, сипкою речовиною, дрібними заготівлями або дрібною неспакованою продукцією. Такий вантаж характеризується параметрами, що являють собою вагу, довжину (погонні метри), площу (квадратні метри), об'єм і т.п.

Якщо загальна потреба у вантажі в пунктах призначення дорівнює запасу вантажу в пунктах відправлення, тобто

_{m n}

∑a_i=∑b_j , (3.13)

^{i=1 j=1}

 

то модель такої транспортної задачі називається закритою. У противному випадку - відкритою.

Теорема 1.1. Для можливості розв'язання транспортної задачі необхідно і достатньо, щоб запаси вантажу в пунктах відправлення були рівні потребам у вантажі в пунктах призначення, тобто щоб виконувалася рівність (3.13).

У випадку перевищення запасу над потребою, тобто вводиться фіктивний (n+1)-й пункт призначення з потребою . При цьому відповідні тарифи вважаються рівними нулю:c_i,n+1=0 (i=1,m) .Така задача буде вже транспортною задачею, для якої умова (3.13) виконується.

Аналогічно, якщо , вводиться фіктивний (m+1)-й пункт відправлення з запасом вантажу .При цьому відповідні тарифи вважаються рівними нулю: c_m+1,j=0 (j=1,n).Така задача буде вже транспортною задачею, для якої умова (3.13) виконується.

Далі будемо розглядати закриту модель транспортної задачі. Якщо ж модель конкретної задачі є відкритою, то, виходячи зі сказаного вище, її необхідно перетворити так, щоб виконувалася рівність (3.13).

У відкритій моделі область припустимих значень (за інших рівних умов) значно ширше, тому цільова функція досягає кращих значень або, принаймні, не гірше.

Особливості вирішення закритої транспортної задачі:

Визначення 1.1. Усяке невід'ємне рішення систем лінійних рівнянь (3.10) і (311) , що обумовлене матрицею X={x_ij], i=1,m, j=1,n, називається планом транспортної задачі.

Визначення 1.2. План X^* =[x^*_ij], i=1,m, j=1,n, при якому функція (3.9) приймає своє мінімальне значення, називається оптимальним планом транспортної задачі.

Число перемінних x_ijy транспортній задачі з m пунктами відправлення і n пунктами призначення дорівнює mn, а число рівнянь у системах (3.10) і (3.11) дорівнює m+n. Оскільки передбачається, що виконується умова (3.13), то число лінійно незалежних рівнянь дорівнює m+n-1. Отже, опорний план транспортної задачі може мати не більше m+n-1 відмінних від нуля невідомих.

Визначення 1.3. План X^* =[x^*_ij], i=1,m, j=1,n є опорним невиродженим, якщо в ньому кількість відмінних від нуля компонентів у точності дорівнює m+n-1, а якщо менше - то виродженим.

Для визначення опорного плану існує декілька методів. Один з них - метод північно-західного кута - буде розглянутий нижче.

Як і для всякої задачі лінійного програмування, оптимальним план транспортної задачі є також опорним планом. Для визначення оптимального плану транспортної задачі можна використовувати диференціальний алгоритм, симплекс-метод та інші універсальні методи. Однака через виняткову практичну важливість цієї задачі і специфіку її обмежень (кожна невідома входить лише в два рівняння систем (3.10) і (3.11), а коефіцієнти при невідомих дорівнюють одиниці) для визначення оптимального плану транспортної задачі розроблені спеціальні методи. Один з них - метод потенціалів - розглядається в даному курсі.

За звичаєм вихідні дані транспортної задачі записують у вигляді табл.3.1.

Таблиця 3.1. Вихідні дані транспортної завдання

Пункти відправлення	Запаси	Пункти призначення
		…	j	…	n
Потреби
b1	b2	…	b1	…	bn
	a1	c11 x11	c12 x12	…	c1j x1j	…	c1n x1n
	a2	c21 x21	c22 x22	…	c2j x2j	…	c2n x2n
…	…	…	…	…	…	…	…
i	ai	ci1 xi1	ci2 xi2	…	cij xij	…	cin xin
…	…	…	…	…	…	…	…
m	am	cm1 xm1	cm2 xm2	…	cmj xmj	…	cmn xmn

Визначення початкового опорного плану транспортної задачі: Вирішення транспортної задачі починають із знаходження будь-якого опорного плану. Для цього розроблені специфічні методи. Один з них одержав у літературі назву "метод північно-західного кута". Іноді його називають також "діагональним методом", "методом перехідних приступів" і т. ін.

Сутність методу полягає в тому, що опорний план знаходять за m+n-1 кроками, на кожному з яких у таблиці транспортної задачі заповнюють одну клітку. Заповнення однієї клітки забезпечує цілком або задоволення потреби у вантажі одного з пунктів призначення (відповідно до того, в стовпці якого знаходиться клітка), або вивіз вантажу з одного з пунктів відправлення (відповідно з того, в рядку якого знаходиться клітка).

Заповнення таблиці слід починати з лівого верхнього квадрата (північно-західного кута). З позиції цього квадрата порівнюють запас вантажу в першому пункті відправлення з потребою першого пункту призначення. Вибирають менший розмір і записують у даний квадрат, який з цього моменту стає "зайнятим". Якщо в клітку записується потреба пункту призначення, то з подальшого розгляду виключають відповідний стовпець таблиці і переходять у ліву сусідню клітку. Якщо в клітку записується запас пункту відправлення, то з подальшого розгляду виключають відповідний рядок таблиці і переходять у сусідню клітку, що знаходиться нижче заповненої.

У новій клітці для частини таблиці, що залишилася, повторюють процедуру першого кроку з урахуванням зміни запасу вантажу одного з І відправників або потреби у вантажі одного з одержувачів у результаті попереднього кроку.

Після m+n-2 описаних вище кроків одержують задачу з одним пунктом відправлення і одним пунктом призначення. При цьому залишається вільною тільки одна клітка, а запаси пункту відправлення дорівнюватимуть потребам пункту призначення. Заповнення цієї клітки, тобто здійснення (m+n-1)-го кроку приводить до шуканого опорного плану.

Слід зауважити, що в процесі використання методу північно-західного кута може трапитися, що потреби у вантажі чергового пункту призначення рівні запасам чергового пункту відправлення. У цьому випадку з подальшого розгляду виключають або стовпець, або рядок, тобто тільки що-небудь одне. Таким чином, запаси відповідного пункту відправлення, або потребу відповідного пункт призначення вважають рівними нулю. Цей нуль записують у чергову клітку, яка заповнюється [61].

Зазначені вище умови гарантують одержання m+n-1 зайнятих кліток, у яких знаходяться компоненти опорного плану.

Опорний план перевезень повинен відповідати таким вимогам:

по-перше, кількість зайнятих маршрутів (кліток) повинно бути на одиницю менше суми числа постачальників т і числа споживачів п, тобто повинна дорівнювати значенню m+n-1;

по-друге, не повинно бути жодного зайнятого маршруту (клітки), що опинився: б єдиним і в рядку, і в стовпці таблиці.

Визначення оптимального опорного плану транспортної задачі:

Для відзначення оптимального плану транспортної задачі розроблено декілька методів. Найбільш часто використовується метод потенціалів. Метод припускає, що вже відомий якийсь опорний план. Його можна одержати, наприклад, розглянутим методом північно-західного кута. Вихідний опорний план необхідно перевірити на оптимальність.

Теорема 1.2. Якщо для деякого опорного плану X^* =[x^*_ij], i=1,m, j=1,n транспортної задачі з заданими тарифами перевезень c_ij існують такі числа α_i(i=1,m) i β_j(j=1,n), що

β_i-α_j=c_ij при x_ij>0 (3.14)

і β_i-α_j≤c_ij при x_ij=0 (3.15)

для всіх i=1,m і j=1,n, то X^* =[x^*_ij] - оптимальний план.

Визначення 1.4. Числа α_i(i=1,m) i β_j(j=1,n) називаються потенціалами відповідно пунктів відправлення і пунктів призначення.

Теорема 1.2 дозволяє побудувати алгоритм знаходження рішення транспортної задачі. Він являє собою наступне.

Нехай знайдений опорний план транспортної задачі. Для кожного з пунктів відправлення і призначення визначають потенціали α_i(i=1,m) i β_j(j=1,n) із системи рівнянь

β_i-α_j=c_ij. (3.16)

Тому що число заповнених кліток дорівнює n+m-1, то система (3.16) із n+m невідомими містить n+m-1 рівнянь. Оскільки число невідомих перевищує на одиницю число рівнянь, одне з невідомих потрібно взяти рівним довільному числу, наприклад α₁=0, і знайти послідовно із системи (3.16) значення інших невідомих.

Після того, як усі потенціали знайдені, дія кожною з вільних кліток визначають числа α_ij=β_i-α_j-c_ij. Якщо серед чисел α_ij немає позитивних, то знайдений опорний план є оптимальним. Якщо ж для деякої вільної клітки α_ij>0, то опорний план , що перевіряється , не є оптимальним, і треба перейти до нового опорного плану. Для цього розглядають усі вільні клітки, для яких α_ij>0, і вибирають ту, для якої число α_ij максимальне. Обрану клітку необхідно заповнити.

Заповнюючи обрану клітку, треба змінити обсяги перевезень, записаних у ряді інших зайнятих клітках і зв'язаних з обраною циклом.

Визначення 1.5. Циклом у таблиці транспортної задачі називається замкнута ломана лінія, вершини якої розташовані в зайнятих клітках таблиці, а ланки - уздовж рядків і стовпів, причому в кожній вершині циклу зустрічаються рівно дві ланки, одна з яких знаходиться в рядку, а інша - у стовпці.

Якщо ломана лінія, що складає цикл, перетинається сама із собою, то точка самоперетину не є вершиною.

При правильній побудові опорного плану для будь-якої вільної клітки можна побудувати тільки один цикл. Після того як для обраної вільної клітки він побудований, необхідно перейти до нового опорного плану. Для цього треба перемістити вантажі в межах кліток, що утворюють цикл. Переміщення роблять за такими правилами:

кожній з кліток, пов'язаних циклом з обраною вільною кліткою, і приписують знак "+" або "-", причому вільній клітці - знак плюс, а всім іншим кліткам - по черзі знаки мінус і плюс;

у вільну клітку переносять менше з чисел x_ij, що знаходяться в мінусових клітках, і одночасно це число додають до відповідних чисел, і що знаходяться "плюсових" клітках, і віднімають із чисел, що знаходяться в "мінусових" клітках. Клітка, що раніше була вільною, стає зайнятою, а "мінусова" клітка, в якій стояло мінімальне число x_ij, стає вільною.

У результаті зазначених вище переміщень вантажів у межах кліток, пов'язаних циклом з обраною вільною кліткою, визначають новий опорний план транспортної задачі. Число зайнятих кліток залишається рівним n+m-1. Якщо в зайнятих "мінусових" клітках циклу є два і більше однакових мінімальних чисел x_ij, то звільняють тільки одну з таких кліток, а інші залишають зайнятими з нульовими постачаннями.

Отриманий новий опорний план транспортної задачі перевіряють на оптимальність. Для цього визначають потенціали пунктів відправлення і призначення і знаходять числа α_ij=β_i-α_j-c_ij для всіх вільних кліток. Якщо серед цих чисел не буде позитивних, то це означає, що новий опорний план є оптимальним. Якщо ж є позитивні числа, то І необхідно перейти до нового опорного плану. У результаті ітераційного плану кінцевого числа переходів одержують оптимальний план процесу після задачі.

Таким чином, процес знаходження рішення транспортної задачі методом потенціалів включає наступні етапи:

1-й етап. Знаходять опорний план.

2 й етап. Знаходять потенціали пунктів відправлення; і призначення.

3-й етап. Визначають числа α_ij для кожної вільної клітки. Якщо серед них немає позитивних, то отримано оптимальний план транспортної задачі, у противному разі переходять до нового опорного плану.

4-й етап. Вибирають серед позитивних чисел α_ij максимальне, будують для відповідної вільної клітки цикл перерахування і роблять зсув за циклом, одержуючи при цьому новий опорний план. Далі переходять до 2-го етапу.

Розглянемо приклад вирішення транспортної задачі методом потенціалів.

Приклад вирішення транспортної задачі методом потенціалів:

Приклад 1.1. Три заводи, що виготовляють бетоні конструкції, постачаються цементом з чотирьох складів. Попит заводів b_j відповідно дорівнює 280, 90 і 180 тис.т/міс. Пропускна здатність складів a_i,- відповідно становить 200, 150, 80 і 120 тис.т/міс. Відстані перевезень (у км)

із і-го складу на j-й завод подані в матриці C=[c_ij]=

 

Потрібно скласти план перевезень цементу зі складів на заводи, що задовольняв би пропускним спроможностям складів і потребам заводу, а сумарний пробіг вантажного транспорту був би мінімальним.

Вирішення

Позначимо через x_ij - кількість цементу, який щомісяця потрібно доставляти щомісяця на j-го завод з i-го складу. Тоді математична модель задачі має вигляд:

y=x₁₁+5x₁₂+3x₁₃+6x₂₁+8x₂₂+9x₂₃+2x₃₁+7x₃₂+4x₃₃+4x₄₁+x₄₂+11x₄₃→min; (3.17)

^xijÎΩ

Ω: x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁=280; (3.18)

x₁₂+x₂₂+x₃₂+x₄₂=90; (3.19)

x₁₃+x₂₃+x₃₃+x₄₃=180; (3.20)

x₁₁+x₁₂+x₁₃=200; (3.21)

x₂₁+x₂₂+x₂₃=150; (3.22)

x₃₁+x₃₂+x₃₃=80; (3.23)

x₄₁+x₄₂+x₄₃=120; (3.24)

x_ij³0. (3.25)

Тут (3.17) - цільова функція, (3.18) - (3.20) - обмеження задачі! що визначають місячні запаси цементу на складах, (3.21) - (3.24) – обмеження задачі, що визначають місячну потребу в цементі на заводах (3.25) - обмеження, що визначає неможливість негативних значень для постачань цементу на заводи.

1-й крок. 1-й етап. Використовуючи метод північно-західного кута, знайдемо опорне рішення транспортної задачі (3.17)- (3.25).

Відповідно до цього методу заповнюємо таблицю, починаючи лівого верхнього квадрата. Порівнюємо запас вантажу в першому пункті відправлення (200 тис.т/міс.) із потребою першого пункту призначення (280 тис.т/міс.). Вибираємо меншу величину (200) і записуємо її в даний квадрат. Оскільки весь запас у першому пункті відправлення вичерпаний, то з подальшого розгляду виключаємо перший рядок і переходимо в сусідню клітку, що знаходиться нижче заповненої. У новій клітці для частини таблиці, що залишилася, повторюємо процедуру заповнення верхньої лівої клітки, але з урахуванням того, що потреба першого пункту призначення зменшилася на 200 тис.т/міс. і стала рівною 80 тис.т/міс. Тобто порівнюємо запас другого пункту відправлення (150 тис.т/міс.) із новою потребою першого пункту призначення (80 тис т/міс). Вибираємо меншу величину(80) і записуємо її в нову клітку Оскільки потреба у вантажі в першому пункті призначення повністю задоволена, то з подальшого розгляду виключаємо перший стовпець і переходимо в сусідню клітку, що знаходиться справа від тільки що заповненої. Для нової верхньої лівої клітки частини таблиці, що залишилася, повторюємо процедуру заповнення з урахуванням зміни запасу в другому пункті відправлення на 50 тис.т/міс. І так доти, поки не буде заповнено m+n-2 кліток.

Остання (m+n-2)-я клітка заповнюється механічно - у неї записується залишкова потреба останнього пункту призначення або залишковий запас останнього пункту відправлення. В умовах задачі це величина 120. Усі проміжні результати по знаходженню початкового опорного плану

 

 

Х₀ = відображені в табл. 3.2. Ці результати в таблиці виділені напівжирним шрифтом.

Для початкового опорного плану обчислюємо значення цільової функції (3.17):

y₀=1х200+6х80+8х70+7х20+4х60+11х120=2940 тис.т/міс.

Це значення буде використано на наступних кроках для контролю просування до оптимуму. Значення цільової функції повинно послідовно зменшуватися з кожним кроком.

 

 

Таблиця 3.2. Проміжні результати по знаходженню початкового опорного плану

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення ai
Потреба
					-5
			- 20	+ 60	-4
			+	- 120	-11
Потенціал пункту призначення bi

2-й етап. Знайдений опорний план перевіряємо на оптимальність. У зв'язку з там знаходимо потенціали пунктів відправлення і призначення із системи

 

b₁-a₁=1, b₂-a₂=8, b₃-a₃=4,

b₁-a₂=6, b₂-a₃=7, b₃-a₄=11.

 

що містить шість рівнянь із сімома невідомими. Вважаючи a₁=0, знаходимо b₁=1, a₂=-5, b₂=3, a₃=-4, b₃=0, a₃=-11. Записуємо знайдені потенціали в табл.3.2.

3-й етап. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа α_ij=β_i-α_j-c_ij: α₁₂=-2, α₁₃=-3, α₂₃=-4, α₃₁=3, α₄₁=8, α₄₂=13.

Записуємо знайдені числа у відповідні вільні клітки табл.3.2 і вміщуємо їх у рамочки, щоб відрізняти їх від іншої інформації в таблиці Тому що серед чисел α_ij є позитивні, то опорний план Х₀ не є оптимальним.

4-й етап. Серед позитивних чисел α_ij вибираємо максимальне: α₄₂=13. Для відповідної вільної клітки будуємо цикл, а саму клітку позначаємо знаком «+». У табл.3.2 зайняті клітки, що складають цикл, виділені сірим фоном. Потім позначаємо знаками «-» і «+» по черзі інші клітки циклу, слідуючи уздовж ломаної лінії циклу.

Найменшим із чисел x_ij у «мінусових» клітках є x₃₂ (20). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в такий спосіб: Х₄₂=20, х₄₃=120-20=100, х₃₃=60+20=80.

У результаті зроблених перетворень одержуємо новий опорний план

 

X₁=

 

При такому опорному плані функція цілі (3.17) стає рівною 2680 тис.т/міс, що менше вихідного значення 2940 тис.т/міс.

На цьому закінчується 1-й крок оптимізації. На наступному кроці процедура 1-го кроку повторюється, але без 1-го етапу.

2-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл.3.3) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо таку систему рівнянь:

 

b₁-a₁=1, b₂-a₂=8, b₂-a₄=1,

b₁-a₂=6, b₃-a₃=4, b₃-a₄=11.

 

Вважаючи a₁=0, знаходимо b₁=1, a₂=-5, b₂=3,a₄=2, b₃=13, a₃=9. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа α_ij: α₁₂=-2, α₁₃=10, α₂₃=9, α₃₁= -10, α₃₂=-13, α₄₁=-5.

Тому що серед чисел α_ij є позитивні (α₁₃=10, α₂₃=9), то опорний план X₁ не є оптимальним.

Таблиця 3.3. Новий опорний план

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення ai
Потреба
		- 200		+
		+ 80	- 70		-5
			+ 20	- 100
Потенціал пункту призначення bi

Серед позитивних чисел α_ij вибираємо максимальне: α₁₃=10. Для відповідної вільної клітки будуємо цикл, а саму клітку позначає знаком «+». У табл.3.3 зайняті клітки, що складають цикл, виділені рим фоном. Потім позначаємо вузлові клітки циклу по черзі знаками «-» і «+».

Найменшим із чисел x_ij у «мінусових» клітках є х₂₃ (70). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в так спосіб: x₁₁=200-70=130, x₁₃=70, х₂₁=80+70=150, x₄₂=20+70=90, x₄₃=100-70=30.

У результаті виконаних перетворень одержуємо новий опори план

Х₂=

 

 

При такому опорному плані функція (3.17) стає рівною 1980 тис.т/міс, що значно менше попереднього значення 2680 тис.т/міс.

3-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл. 3.4) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо наступну систему рівнянь:

 

b₁-a₁=1, b₁-a₂=6, b₂-a₄=1,

b₃-a₁=3, b₃-a₃=4, b₃-a₄=11.

 

Вважаючи a₁=0, знаходимо b₁=1, b₃=3, a₂=-5, b₃=4, a₃=0, a₄=-8, b₂=-7. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа α_ij: α₁₂=-12, α₂₂=-10, α₂₃=-1, α₃₁=-1, α₃₂=-14, α₄₁=5. Оскільки серед чисел α_ij одне позитивне (α₄₁=5), то опорний план Х₂ не є оптимальним.

Таблиця 3.4. Новий опорний план

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення ai
Потреба
		- 130		+ 70
					-5
		+		- 30	-8
Потенціал пункту призначення bi		-7

 

Для відповідної вільної клітки (нижньої, лівої) будуємо цикл, а саму клітку позначаємо знаком «+». У табл.3.4 зайняті клітки, що складають цикл, виділені сірим фоном. Потім позначаємо вузлові клітки циклу по черзі знаками «-» і «+». Найменшим із чисел x_ij у «мінусових» клітках є х₄₃ (30). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в такий спосіб: x₁₁ =130-30=100, х₁₃ =70+30=100, x₁₄=30.

У результаті зроблених перетворень одержуємо новий опорі план

 

Х₄=

 

 

При такому опорному плані функція (3.17) стає рівною 1830 тис.т/міс, що менше попереднього значення 1980 тис.т/міс.

4-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл.3.5) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо наступну систему рівнянь:

 

b₁-a₁=1, b₁-a₂=6, b₁-a₄=4,

b₃-a₁=3, b₃-a₃=4, b₂-a₄=1.

 

Вважаючи a₁=0, знаходимо b₁=1, b₃=3, a₂=-5, a₃=-1, a₄= -3, b₂= -2. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа α_ij: α₁₂=-7, α₂₂=-4, α₂₃=-1, α₃₁=0, α₃₂=-8, α₄₁=-5. Тому що серед чисел α_ij і немає строго позитивних, то опорний план Х₃ є оптимальним.

 

Таблиця 3.5. Новий опорний план

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пункт відправ­лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення ai
Потреба
					-5
					-1
					-3
Потенціал пункту призначення bi		-2

Різновиди транспортних задач

Розглянута математична модель (3.9) - (3.12) є класичною моделлю транспортної задачі. У реальній практиці економіста і менеджера, як правило, транспортна задача зустрічається в дещо іншій постановці. Математична модель реальної транспортної задачі може відрізнятися від класичної або видом цільової функції, або видом обмежень, або харак3ером змінних, або будь-яким сполученням перерахованих відмінностей одночасно.

Розглянемо декілька модифікацій транспортної задачі.

Транспортна задача про розподіл випуску продукції

При комплексному вирішенні проблеми виробництва і реалізації продукції виникає задача, що полягає у визначенні такого плану випуск і перевезень готової продукції, при якому досягаються мінімальні пні витрати на її виготовлення і доставку споживачам.

Для вирішення даної задачі розглядається повна собівартість виробництва одиниці продукції на кожному підприємстві (S_i) і транспортні витрати (S_ij), що залежать від типу застосовуваних транспортних засобів і районів розташування заводів-виробників і споживачів.

Математична модель такої задачі має вигляд:

_{m n}

y=∑∑(s_i+s_ij)x_ij→min; (3.26)

^{i=1 j=1 x}_ij^ÎΩ

_{m ____}

Ω: f_j=∑x_ij=b_i, j=1,n; (3.27)

ⁱ⁼¹

_{n ____}

f_n+i=∑x_ij=a_i, i=1,m; (3.28)

^j=1 _{_____ _______}

x_ij≥0; i=1,m; i=1,m. (3.29)

_{_______ _______}

x_ij=int; i=1,m; i=1,m. (3.30)

Якщо за умовою задачі потрібні ще капітальні вкладення в засоби транспорту, то показником ефективності служать приведені витрати, (3.26) матиме вигляд

(3.31)

- нормативний коефіцієнт ефективності капітальних вкладень; к - питомі капітальні вкладення, що приводяться на одиницю перевезень.

Виконуючи підстановку в цільову функцію (3.26) і підстановку в цільову функцію (3.31), задача (3.26) - (3-30) і задача (3.31), (3.27) - (3.30) відповідно приводяться до класичної транспортної задачі, що може бути вирішена методом потенціалів.

 

Розподільна транспортна задача про вибір засобів доставки вантажу

Змістовна постановка задачі. Нехай через j=1,2, ...,n позначено пункти, що мають вантажі для перевезень об'ємами a_j відповідно. Є m засобів доставки вантажу (видів транспорту). Вантажопідйомність i-го засобу доставки складає р_i а наявний його парк дорівнює b_i, і=1,2,...,m... Вантажі підлягають доставці в один центральний пункт (склад). Витрати при здійсненні однією одиницею і-го засобу доставки від j-го пункту до складу дорівнюють С_ij. Потрібно скласти найбільш економічний план доставки.

Математична модель задачі. Позначимо через Х_ij кількість засобів доставки і-го типу, що відправляється j-го пункту. Тоді математична модель розподільної транспортної задачі про вибір транспортних засобів має вигляд:

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

Цільова функція (3.32) визначає сумарні витрати на доставку в вантажу на центральний склад. Вираз (3.33) вказує на необхідність вивезення всього вантажу з пунктів відправлення. Обмеження (3.34) вказує те, що кількість використовуваних засобів доставки не повинна перевищувати їхній наявний парк.

Поява параметра ,- у системі обмежень (3.33) перешкоджає зведенню математичної моделі завдання до моделі класичної. Тому вирішувати її методом потенціалів неможливо. Вирішення даної задачі класичними методами лінійного програмування також неможливе через цілочисельність змінних . Вирішення задачі можна одержати методом відсікання (шляхом введення в задачу додаткових обмежень у вигляді нерівностей Гомори), однак процедура вирішення різко ускладнюється. Тому вирішення задачі найбільш доцільно покласти на програм; Solver (Пошук рішення) інформаційної системи Microsoft Excel.

 

Транспортна задача про двохетапне перевезення вантажу

Змістовна постановка задачі. Однорідний вантаж потрібно доставити з т пунктів відправлення в п пунктів призначення. При доставці в пункти призначення вантажі можуть бути спочатку доставлені на р перевалочних пунктів. Задано вартості перевезень С_у з кожного пункту відправлення в кожний пункт призначення і перевалочний пункт, а також вартості перевезення з кожного перевалочного пункту в пункт призначення.

Математична модель завдання. Позначимо:

- вартість перевезення одиниці вантажу з i-го пункту відправлення j-й пункт призначення, ;

- вартість перевезення одиниці вантажу з i-го пункту відправлення в k-й перевалочний пункт ;

- вартість перевезення одиниці вантажу з к-го перевалочного пункту j-й пункт призначення

- запаси вантажу в i-м пункті відправлення;

- потреба у вантажі j-м пункті призначення;

- місткість k-го перевалочного пункту;

- кількість вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення;

- кількість вантажу, перевезеного з і-го пункту відправлення в k-й перевалочний пункт;

- кількість вантажу, перевезеного з k-го перевалочного пункту в j-й пункт призначення.

Математична модель задачі з урахуванням вище наведених позначень може бути подана у вигляді задачі лінійного програмування:

; (3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

Тут цільова функція (3.37) складається з витрат трьох видів: на уставку частини вантажу з пунктів відправлення в пункти призначення, маючи перевалочні пункти; на перевезення частини вантажу з пункт призначення в перевалочні пункти; на доставку вантажу з перевалочних пунктів у пункти призначення. Система обмежень (3.38) говорить про те, що сумарні об'єми вантажів, що вивозяться з пунктів відправлення, не можуть перевищувати запаси вантажів у цих пунктах. Система обмежень (3.39) свідчить про те, що сумарні об'єми вантажів, що надходять у пункти призначення, не можуть бути менше відповідних потреб пунктів призначення. Система обмежень (3.40) означає, що сумарне завезення вантажів на кожний перевалочний пункт не може перевищувати його місткості. Система обмежень (3.41) вказує на те, що весь вантаж із перевалочних пунктів повинен бути вивезений повністю.

Як і в попередній задачі, математична модель (3.37) - (3.42) не може бути приведена до класичної. Тому вирішення задачі найбільш доцільно покласти на програму Solver (Пошук рішення) інформаційної системи Microsoft Excel.

Транспортна задача про двохетапне перевезення вантажу декількох видів

Змістовна постановка завдання. Вантаж, що включає q видів продукції, потрібно доставити з т пунктів відправлення в n пунктів призначення. При доставці в пункти призначення вантажі можуть бути спочатку доставлені на q перевалочних пунктів. Задано вартості перевезень для кожного виду вантажу з кожного пункту відправлення в кожний пункт призначення і перевалочний пункт, а також вартості перевезення з кожного перевалочного пункту в кожний пункт призначення.

Математична модель завдання. Позначимо:

- вартість перевезення одиниці 1-го виду вантажу з г-го пункту відправлення в у-й пункт призначення,

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з i-го пункту відправлення в к-й перевалочний пункт,

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з k-го перевалочного пункту в j-й пункт призначення,

- запаси l-го виду вантажу в і-м пункті відправлення;

- потреба в l-м виді вантажу j-м пункті призначення;

- місткість k-го перевалочного пункту стосовно l-го виду вантажу;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення j-й пункт призначення;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення k -й перевалочний пункт;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з k-то перевалочного пункту j-й пункт призначення.

Математична модель задачі з урахуванням вище приведених позначень може бути подана у вигляді задачі лінійного програмування:

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

(3.48)

 

Математична модель задачі відрізняється від попередньої тільки там, що вона враховує різновид вантажів.

Транспортна задача про двохетапне перевезення вант декількох видів за запитами споживачів

Існує модифікація транспортної задачі двохетапного перевезення вантажів декількох видів, у якій кількість вантажу в пунктах відправлення не фіксована. Вона залежить від запитів споживачів.

Математична модель задачі. Позначимо:

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з i-го пункту відправлення j-й пункт призначення,

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з i-го пункту відправлення в k-й перевалочний пункт,

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з k-го перевалочного пункту в j-й пункт призначення,

- витрати на виробництво l-го виду вантажу в 2-м пункті відправлення;

- потреба в l-м виді вантажу в j-м пункті призначення;

- місткість k-то перевалочного пункту стосовно l-го вантажу;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення в k-й перевалочний пункт;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з k-го перевалочного пункту в j-й пункт призначення;

- кількість виробленого l-го виду вантажу в i-м пункті відправлення.

 

Математичну модель задачі з урахуванням вище наведених значень можна подати у вигляді задачі лінійного програмування:

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

 

Цільова функція в математичній моделі (3.49) - (3.54) відрізняється від цільової функції (3.43) тільки тим, що враховує витрати на виробництво продукції (вантажу) в пунктах відправлення.

Транспортна задача про закриття підприємства

Змістовна постановка задачі Виробниче об'єднання складається з п заводів і т складів. Задано потреби складів у продукті й вартості на перевезення продуктів з кожного заводу на кожний склад. Задані фіксовані вартості функціонування заводів і можливості заводів по виробництву продукту. Виробниче об'єднання розглядає можливість закриття одного або декількох заводів. Це повинно зменшити витрати на перевезення. Які заводи, якщо це доцільно, повинні бути закриті?

Математичне формулювання завдання. Позначимо:

- вартості перевезення j-го заводу на i-й склад;

- потреби i-го складу в продукті, i=1,…,m;

- можливість j-го заводу по виробництву продукту;

- фіксована вартість функціонування j-го заводу;

- булєве число, що показує, чи потрібно закрити j-й завод (значення 0), чи залишити його працювати (значення 1);

- кількість перевезеного товару з j-го заводу на і-й склад.

Тоді математична модель транспортної задачі про закриття заводу може бути подана у такому вигляді:

 

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

(3.59)

Тут цільова функція (3.55) визначає загальні витрати виробничої об'єднання на функціонування заводів і транспортування готової продукції на склади. Обмеження (3.56) визначає можливості заводів з виробництва продукції. Обмеження (3.57) визначають потреби складів у готовій продукції.

 

Тема 4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач

Теорія достовірності в економіко-математичному моделюванні

Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач

Поняття: достовірність; авторизованість; авторитетність; інформативність; свідомість; кореляційне відношення; середня помилка;міра достовірності результатів моделювання; статистичний критерій Уилкоксона; статистичний критерій- Пірсона; статистичний критерій Колмогорова-Смірнова; метод відношення правдоподібності; метод сценаріїв; модифікований критерій Колмогорова-Смірнова і Мізеса; статистична несуперечність; область допустимих рішень; критерій оптимальності.

Література: [2], [4], [7], [12], [18], [30], [43], [48], [52], [55], [56], [60], [66], [75], [80], [91].

Теорія достовірності в економіко-математичному моделюванні

Для розуміння теоретичних аспектів і прикладних напрямів використання теорії достовірності важливе значення має визначення поняття «достовірність».

Термін достовірність використовується в теорії ймовірності, логіці, гносеології та праві й визначається як характеристика обгрунтованого, доказового, безперечного і як синонім істини. Слід відзначити, що достовірність також може розглядатись як події, що підтверджені експериментально (практично).

Існують ще декілька визначень поняття «достовірність».

Достовірність – це форма існування істини, яка обґрунтована будь-яким способом [91]. В словарі термінів логіки достовірність визначається як обґрунтованість, доказовість, безпорність знання.

З позиції теорії ймовірності достовірність визначається якпоняття, що відображає упевненість суб'єкта в правильності своєї оцінки ймовірності настання тієї або іншої події [55].

Теорія достовірності спрямована на вирішення проблеми визначення достовірності проведеного дослідження для подальшого використання його результатів в економічних процесах.

В цьому аспекті важливе значення має оцінка достовірності інформації, яка використовується в дослідженні, і оцінка достовірності результатів дослідження.

Оцінка достовірності інформації – це складане завдання. В цьому аспекті можна відзначити, що, наприклад, експерт, який формулює висновки щодо економічних питань, може помилятись абосвідомо вводити в оману. Тому необхідно не тільки оцінювати економічну інформацію, а і її джерела. В зв’язку з цим вводиться наступні терміни: авторизованість, авторитетність, інформативність та свідомість.

Авторизованість – це прив'язка пропонованих у відповіді даних до визначеного джерела. Як джерело можуть бути використані посилання на сайт, книгу та ін.

Авторитетність - характеристика джерела даних. Якщо експерт у відповіді не посилається на джерело, а говорить від першої особи, оцінюється авторитетність самого експерта.

Інформативність показує кількість нових даних у відповіді, які відносяться до питання.

Свідомість – показує, наскільки відповідаючий зрозумів питання.

При оцінці достовірності результатів дослідження необхідно враховувати те, що достовірним можна вважати результат, допустима погрішність якого не виходить за різницю між розрахунковим значенням моделі і отриманим значенням, в результаті розрахунків економічних показників:

, (4.1)

- розрахункове значення моделі;

- вихідне значення економічного показника моделі;

- величина допустимої погрішності.

Саме виникнення значної погрішності результатів дослідження призводить до зниження достовірності результатів моделювання. В цілому погрішність виникає у зв’язку з:

Ø неадекватністю моделі;

Ø помилками розрахунку показників і параметрів моделі;

Ø низькою якістю інформації, яка використовується для моделювання та інш.

Для визначення факту наявності або відсутності помилок, використовують спосіб, який полягає порівняння їх з аналітичними рішеннями. Цей спосіб використовується при наявності значної кількості різних аналітичних рішень. Проте, екстраполювати результати оцінки одного порівняння на всі можливі рішення й параметри моделі досить загрозливо, оскільки в кожному конкретному випадку можуть виникати відхилення, особливо при зміні параметрів.

Досить часто використовується спосіб, коли розрахунок одного і того ж параметру відбувається декількома способами. Цей спосіб дає можливість визначити погрішності практично для всіх комбінацій параметрів моделі.

Розглянемо приклад визначення достовірності на основі розробленої економіко-математичної моделі.

Розроблена лінійна модель виду

, (4.2)

де - індикатор розвитку (відношення нового капіталу до інвестованого капіталу);

- рівень витрат;

- рівень матеріальних запасів.

Встановіть достовірність розрахунків моделі (4.2) на основі встановленої погрішності. Вихідні статистичні дані представлених економічних показників представлено в табл. 4.1.

Таблиця 4.1. Вихідні статистичні дані економічних показників моделі (4.2)

№ спостереження		Рв	Рз
	0,113	0,957	0,042
	0,09	-1,052	0,057
	0,092	1,047	0,052
	0,083	1,075	0,066
	0,069	1,113	0,09
	0,067	1,123	0,099
	0,069	1,118	0,094
	0,08	1,085	0,071
	0,081	1,09	0,066
	0,009	1,354	0,137
	0,016	1,33	0,127
	0,024	1,302	0,118
	0,031	1,269	0,113
	0,048	1,198	0,108
	0,05	1,193	0,104
	0,055	1,174	0,099
	0,057	1,165	0,099
	0,063	1,146	0,094
	0,063	1,141	0,094
	0,074	1,113	0,075
	0,075	1,108	0,071
	0,08	1,09	0,066
	0,082	1,08	0,061

 

Вирішення

Визначення оцінок індикатора розвитку та помилки розрахунків моделі (4.2) представимо в табл. 4.2

Таблиця 4.2. Розрахунок оцінок індикатора розвитку та помилки

№ спосте-реження		Параметри моделі (4.2)	(()’- )
0,326	-(0,212 х Рв)	-(0,08 х Рз)	()’
	0,113	0,326	-0,203	-0,009	0,114	0,001
	0,09	0,326	-0,223	-0,012	0,091	0,001
	0,092	0,326	-0,222	-0,011	0,093	0,001
	0,083	0,326	-0,228	-0,014	0,084	0,001
	0,069	0,326	-0,236	-0,019	0,071	0,002
	0,067	0,326	-0,238	-0,021	0,067
	0,069	0,326	-0,237	-0,020	0,069
	0,08	0,326	-0,230	-0,015	0,081	0,001
	0,081	0,326	-0,231	-0,014	0,081
	0,009	0,326	-0,287	-0,029	0,01	0,001
	0,016	0,326	-0,282	-0,027	0,017	0,001
	0,024	0,326	-0,276	-0,025	0,025	0,001
	0,031	0,326	-0,269	-0,024	0,033	0,002
	0,048	0,326	-0,254	-0,023	0,049	0,001
	0,05	0,326	-0,253	-0,022	0,051	0,001
	0,055	0,326	-0,249	-0,021	0,056	0,001
	0,057	0,326	-0,247	-0,021	0,058	0,001
	0,063	0,326	-0,243	-0,020	0,063
	0,063	0,326	-0,242	-0,020	0,064	0,001
	0,074	0,326	-0,236	-0,016	0,074
	0,075	0,326	-0,235	-0,015	0,076	0,001
	0,08	0,326	-0,231	-0,014	0,081	0,001

Продовження табл. 4.2

	0,082	0,326	-0,229	-0,013	0,084	0,002
	1,471	х	х	х	1,492	0,021

 

В результаті розрахунків встановлено, що помилка розрахунків складає 0,021 тис. грн./тис. грн. або 2,1%. Таке значення свідчить про високий рівень достовірності розрахунків параметрів лінійної моделі, оскільки значення помилки наближається до нуля.

З теорії статистики відомо, якщо рівень помилки складає від 0 до 5%, то результати розрахунків можна вважати достовірними.

Слід вказати, що для визначення ступеня достовірності результатів економіко-математичного дослідження необхідно для кожної відносної або середньої величини розрахувати відповідну середню помилку.

Середня помилка дозволяє визначити межі, в яких з відповідною ймовірністю може знаходиться значення показників розробленої моделі. При оцінці достовірності визначається і середня помилка різниці між двома середніми або відносними величинами:

, (4.3)

де - квадрати середніх помилок.

Якщо різниця середніх величин більше середньої помилки різниці в 2,5-3,0 рази, то з відповідною ймовірністю можна стверджувати, що різниця середніх (відносних) величин не випадкова, а залежить від будь-якої визначеної причини. Якщо різниця перевищує свою середню помилку в 2,5-3,0 разів, то різниця цих середніх не випадкова.

Для встановлення достовірності розрахунків необхідно оцінити середню помилку розрахунків, а також граничну помилку розрахунків. Це потрібно для виявлення довірчих границь.

Довірчі границі визначаються [18]:

, (4.4)

де - розрахункові значення економічного показника лінійної моделі;

- граничне значення помилки розрахунків;

- вихідні значення економічного показника.

 

Для визначення граничної помилки розрахунків використовують наступне співвідношення:

, (4.5)

де - середня помилка розрахунків.

Середня помилка розрахунків визначається за формулою []:

; (4.6)

де - середнє квадратичне відхилення показника;

- емпіричне кореляційне відношення.

Для оцінки тісноти зв'язку між змінними використовується емпіричне кореляційне відношення (η²_y/х), яке є часткою дисперсії (коливаємості) функції у за рахунок впливу аргументу х. У даному випадку загальна (повна) дисперсія розкладається на дві частини – дисперсію усередині кожного інтервалу зміни функції σ ²_y/х, яка не залежить від впливу х, і дисперсію середніх значень функції δ, яка викликана впливом аргументу, тобто

σ²_y= σ²_y/х+ δ. (4.7)

Звідси формула для оцінки тісноти зв'язку між змінними має вигляд

, (4.8)

а в разі згрупованих даних

, (4.9)

де і - розрахункове значення функції;

- середнє значення функції за вибіркою;

n - обсяг вибірки;

m_i – кількість спостережень у в кожному інтервалі зміни.

Кореляційне відношення не залежить від одиниць вимірювання змінних, що вивчаються. Воно показує, яку частину загальної дисперсії σ²_y можна віднести за рахунок зміни аргументу на одну σ²_х.

При цьому характеристика η²_y/х тим точніше визначає частку впливу х на загальну дисперсію у, чим менше варіюється залишкова дисперсія σ²_y/х при кожному х. Якщо η_y/х=1, то має місце функціональна залежність у від х. Якщо η_y/х=0 – у кореляційно не залежить від х.

Слід відзначити, що результати моделювання також вважаються адекватними або достовірними, якщо обґрунтовано, що вибірки реальних значень показників системи і отриманих результатів мають однакові закони розподілу. Тоб то коли спільні функції розподілу векторів параметрів, які характеризують умови функціонування системи і моделі, і векторів вихідних характеристик дорівнюють один одному.

Для визначення міри різниці між функціями розподілу вводиться міра достовірності результатів моделювання або міра відмінності моделі або системи.

Розрахунок міри відмінності не складає особливих труднощів в трьох випадках. Перший випадок, коли повністю відомі закони розподілу показників ефективності, по яких порівнюються система і модель, другий — коли відомі закони розподілу показників системи і моделі до параметрів, третій — якщо є достатній обсяг вибірки результатів моделювання.

Для всіх трьох випадків існують класичні методи оцінки достовірності результатів моделювання. Так, для одновимірного показника оцінка достовірності результатів моделювання може проводитись за допомогою статистичних критеріїв Уилкоксона,- Пірсона, Колмогорова-Смірнова, метода відношення правдоподібності та інш.

Для оцінки достовірності результатів моделювання по векторному показнику можна скористатися також методом відношення правдоподібності або розпізнавальними системами визначення ступеня близькості класів, що розпізнають. В якості розпізнавальних класів використовуються генеральні сукупності векторів-показників системи і моделі , які описуються щільністю ймовірності Р_с і Р_м.

Сутність класичних методів оцінки достовірності зводиться до перевірки гіпотези про розбіжність результатів моделювання і вихідних даних для заданого рівня значущості, на якому перевіряється гіпотеза.

Розглянуті методи оцінки достовірності припускають наявність вибірок (статистики) результатів моделі і системи, оскільки по ним можна визначити оцінки функцій розподілу показників моделі і системи.

Слід вказати і на те, що результати математичного моделювання подібні результатам реальних економічних подій на рівні випадкових ймовірних подій, то можна стверджувати, що кількісні результати моделювання економічних подій в цілому є достовірними.

Для дослідження достовірності результатів моделювання використовують методи сценаріїв, по яким є виборки. Причому сценарій складається таким чином, щоб умови здійснення кожної ймовірносної події в моделі співпадали з умовами, в яких проводились дослідження.

Для оцінки достовріності результатів моделювання за малою вибіркою може бути використана методика перевірки подібності теоретичної і емпіричної функцій розподілу, який заснований на використанні модифікованих критеріїв Колмогорова-Смірнова і Мізеса [60]. Проте ці методи використовуються для незначного класу завдань.

Існують і інші підходи до вирішення задачі оцінки достовірності по малій вибірці, відповідно до якого за наявності малої вибірки доцільно говорити не про оцінку достовірності результатів моделювання, а про оцінку статистичної несуперечності результатів дослідження результатам моделювання.

При цьому під статистичною несуперечністю слід розуміти несуперечність результатів дослідження твердженню, що їх значення на заданому рівні значущості можуть розглядатися як ті що належать до тієї ж генеральної сукупності, що і вибірка результатів моделювання.

Якщо реалізації дослідження економічних процесів не відповідають закону розподілу результатів моделювання (змінюють його параметри), то вони належать до іншої генеральної сукупності.

Для перевірки достовірності результатів моделювання економічних процесів можна використати перевірку на статистичну еквівалентність моделей елементарних подій. Метод дозволяє оцінити достовірність результатів елементарних подій моделі за статистикою, яка отримана за спеціальними моделями елементарних подій. Ці моделі розробляються, наприклад, в науково-дослідних установах [60].

Таким чином, представлені методики оцінки достовірності інформації та результатів дослідження є підгрунттям для отримання моделі, яка віддзеркалює реальні економічні події і може бути використана для прийняття ефективних управлінських рішень.

 

Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач

Цільова функція в загальному вигляді складається з трьох елементів: - змінних, які управляються; - змінних, які не управляються;

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модуля 2

Питання для самоконтролю:

1. В чому сутність задач лінійного програмування?

2. Які особливості задач лінійного програмування Ви можете виділити?

3. Розкрийте сутність симплексного методу?

4. Розкрийте алгоритм використання симплексного методу при вирішенні задач лінійного програмування.

5. Які методи використовуються при вирішенні задач лінійного програмування.

6. Розкрийте змістовну постановку транспортної задачі.

7. Сформулюйте математичну модель транспортної задачі?

8. Встановіть особливості вирішення закритої транспортної задачі.

9. Охарактеризуйте алгоритм визначення початкового опорного плану в транспортній задачі методом північно-західного кута.

10. Визначте напрями формування оптимального опорного плану транспортної задачі?

11. Назвіть види транспортних задач і охарактеризуйте їх.

12. Охарактеризуйте поняття «достовірність».

13. Назвіть напрями оцінки достовірності.

14. По яким напрямам відбувається аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.

15. Охарактеризуйте область допустимих рішень і критерій оптимальності.

16. В чому полягає інтепритація отриманих економічних результатів, отриманих на основі лінійних оптимізаційних моделей.

 

Завдання для самоконтролю:

1. Підприємство випускає протягом планового періоду 2 виду продукції столи і стільці. При їх виробництві використовуються три виду ресурсів. Дані по їх витратам на випуск одного виробу, запаси ресурсів, а також прибуток від реалізації одиниці продукції наведено в табл. 4.3.

Таблиця 4.3. Дані по витратам на випуск одного виробу, запасів ресурсів, прибутку від реалізації одиниці продукції

	Стіл	Стільці	Запас ресурсів
Ресурс 1
Ресурс 2
Ресурс 3
Прибуток

 

Необхідно спланувати кількість виробляємих столів і стільців таким чином, щоб при цих умовах виробництва прибуток був максимальним.

 

2. Припустимо, що денний раціон тварин повинно входити поживні речовини двох видів в кількості, яка представлена в табл. 4.4. Є можливість складати раціон із кормів двох видів, для яких задано змістопоживних речовин в одиниці корму і ціні однієї одиниці кожного з видів кормів.

Таблиця 4.4. Дані про поживні речовини і вартість кормів на підприємстві

	Корм 1	Корм 2	Поживчі речовини в раціоні
Поживна речовина 1
Поживна речовина 2
Ціна корму

 

При задоволенні умов по необхідному змісту поживних речовин в цьому раціоні необхідно досягти його мінімальної вартості.

3. Фірма виробляє дві моделі А і В збірних книжкових полиць. Їх виробництво обмежено наявністю сировини (високоякісних дощок) і часом машинної обробки. Для кожного виробу моделі А потрібен 2 м² дощок, а для моделі В - 5 м². Фірма може одержувати від своїх постачальників до 1300 м² дощок в тиждень. Для кожного виробу моделі А потрібно 15 хв. машинного часу, а для виробу моделі В - 30 хв. В тиждень можна використовувати 180 годин машинного часу. Скільки виробів кожної моделі слід випускати фірмі в тиждень, якщо кожний вироб моделі А приносить 4 грн. прибутку, а кожний виріб моделі В - 2 грн. прибутку?

4. Скласти оптимальний план перевезень цегли між трьома заводами і п’ятьма об’єктами будівництва, якщо відстані (в км) між заводами і об’єктами будівництва визначаються матрицею

,

Відомі потужності заводів і об’єктів будівництва.

Дані про потужність заводів і об’єктів будівництва студентом вибираються із табл. 4.5 і табл. 5.6 відповідно до його варіанту. Варіант вибирається за останньою цифрою номеру залікової книжки студента.

Таблиця 4.5. Потужність цеглових заводів (тис.шт. за добу)

№ заводу	Варіант
	3,4	3,0	4,2	3,1	1,9	0,9	1,0	2,5	3,3	1,8
	2,3	1,5	1,3	4,2	2,6	4,3	3,1	3,5	3,9	4,3
	2,8	4,0	3,0	1,2	4,0	3,3	4,4	2,5	1,3	2,4

 

Таблиця 4.6. Потужність об’єктів будівництва (тис.шт. за добу)

№ об’єктів будівництва	Варіант
	1,5	0,9	1,1	1,0	2,7	2,1	1,2	2,5	2,8	1,3
	1,6	2,5	1,3	3,0	1,5	2,3	1,9	2,0	1,9	0,6
	2,1	3,0	2,2	0,6	1,0	1,4	1,8	1,7	1,1	2,4
	1,7	0,7	3,1	1,9	3,0	1,2	1,5	0,9	0,7	3,0
	1,6	1,4	0,8	2,0	0,3	1,5	2,1	1,4	2,0	1,2

 

5. Скласти оптимальний план забудови мікрорайону міста, якщо відомо, що він повинен забудовуватися житловими будинками трьох серій. Характеристики житлових будинків кожної серії подані в табл. 4.7. З огляду на демографічний прогноз населення проектування мікрорайону, необхідно, щоб кількість квартир відповідала проектному завданню, що представлено в табл. 4.8.

Дані про проектну кількість квартир вибираються із табл. 4.8 відповідно до варіанту студента. Варіант визначається за останньою цифрою залікової книжки студента.

Таблиця 4.7. Склад квартир і кошторисна вартість житлових будинків різних серій (для всіх варіантів однакові)

Характеристика житлових будинків	Серія
Кількість квартир - усього
в тому числі на двох чоловік
на трьох чоловік
на чотири чоловіки
Кошторисна вартість житлового будинку, тис. грн.

 

Таблиця 4.8. Проектна кількість квартир у мікрорайону на 2, 3 і 4 чоловіки

Склад сім’ї	Варіант
2 чол.
3 чол.
4 чол.

 

5. Встановіть достовірність розрахунків моделі:

, (4.10)

де - коефіцієнт оборотності матеріальних запасів;

- коефіцієнт оборотності дебіторської заборгованості.

на основі встановленої погрішності. Вихідні статистичні дані визначених економічних показників представлено в табл. 4.9.

 

Таблиця 4.9. Вихідні статистичні дані економічних показників моделі (4.10)

№ спостереження
	0,661	2,25	1,16
	0,595	1,96	1,06
	0,587	1,93	1,05
	0,576	1,87	1,07
	0,527	1,63	1,09
	0,523	1,61	1,10
	0,525	1,62	1,09
	0,574	1,86	1,07
	0,577	1,87	1,07
	0,424	1,12	1,14
	0,469	1,34	1,13
	0,487	1,43	1,12
	0,495	1,47	1,11
	0,503	1,51	1,11
	0,507	1,53	1,10
	0,515	1,57	1,11
	0,515	1,57	1,11
	0,519	1,59	1,09
	0,520	1,60	1,09
	0,526	1,63	1,07
	0,523	1,62	1,07
	0,559	1,79	1,06
	0,561	1,80	1,05

 

 

Змістовий модуль 3

Цілочислове програмування і нелінійні оптимізаційні моделі

Тема 5. Цілочислове програмування

5.1. Основні поняття і сутність цілочислового програмування.

5.2. Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування.

5.3. Метод Гомори.

5.4. Метод віток і меж.

5.5. Цілочиcлова транспортна задача.

5.6. Задача цілочислового лінійного програмування.

Поняття: цілочислове програмування; методи відтикання; комбінаторні методи; метод Р. Гомори; метод віток і меж; велика ітерація; мала ітерація.

Література: [4], [14], [23], [26], [31], [51], [61], [63].

 

Основні поняття і сутність цілочислового програмування

Задачі цілочислового програмування можуть бути лінійними, якщо обмеження і цільова функція задачі є лінійною залежністю, або нелінійними – якщо… Слід вказати, що широке використання задач цілочислового програмування в… Задача цілочислового програмування записується так :

Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування

1. Розв'язується задача лінійного програмування без обмежень на цілочисельність, наприклад, симплекс-методом. 2. Якщо оптимальне рішення задачі лінійного програмування нецілочисельне, то… 1) умова відсікання: оптимальне рішення задачі лінійного програмування не задовольняє умові відсікання;

Метод Гомори

Перший алгоритм Р. Гомори полягає в наступному: Хай задана повністю цілочисельна лінійна задача: (5.2)

Метод віток і меж

Метод віток і меж використовується як до повністю цілочисельних задач, так і до частково цілочисельних задач. Спочатку розв'язується ослаблена задача без обмежень на цілочисельність. . (5.14)

Цілочислова транспортна задача

 

В попередньому розділі розглядались математичні аспекти і особливості вирішення транспортних задач. Одним з видів цих задач є цілочислова транспортна задач, яка має цілочисловий характер. Цілочислові змінні мають місце, коли перевезений вантаж являє собою лічильну множину великих заготівель або комплектуючих, неподільних продуктів виробництва, упакованих сипучих матеріалів і т.п. Об'єм такого вантажу характеризується розміром, що виражається в штуках, пакунках, партіях і т.п.

Тоді математична постановка транспортної задачі планування перевезень набуває вигляду:

_{m n}

y=∑∑c_ijx_ij→min; (5.18)

^{i=1 j=1 x}_ij^ÎΩ

_{m ____}

Ω: f_j=∑x_ij=b_i, j=1,n; (5.19)

ⁱ⁼¹

_{n ____}

f_n+i=∑x_ij=a_i, i=1,m; (5.20)

^j=1_{_____ _______}

x_ij≥0; i=1,m; i=1,m. (5.21)

_{_______ _______}

x_ij=int; i=1,m; i=1,m. (5.22)

 

Математична модель цілочислової транспортної задачі (5.18)-(5.22) відрізняється від раніше розглянутих математичних моделей транспортної задачі додатковим обмеженням на цілочисельність невідомих x_ij (5.22). Це потребує накладення обмеження цілочисельності на функції f₁,f₂, … , f_n+m…

Необхідно зауважити, що в загальному випадку умова цілочисельності може накладатися і на значення функції цілі y.

Задача цілочислового лінійного програмування

Розглянемо ще декілька задач, математична модель яких відповідає цілочисловій задачі лінійного програмування.

Оптимальне вирішення нижче приведених задач можна одержати методом відсікання введення в задачу додаткових обмежень у вигляді нерівностей.

 

Задача про розподіл вантажного флоту:

Змістовна постановка завдання. Нехай вантажний флот має у своєму складі судна п типів. Кількість суден типу j дорівнює , а витрати при використанні одного судна типу j у планованому періоді складає Кожне судно має вантажні ємкості т типів (трюми, палуби, танки і т.п.). Вантажопідйомність ємкості і на судні типу j дорівнює Перевезенню підлягають р видів ван­тажу. Вантаж виду k є в кількості а Треба вибрати найбільш економічний комплекс транспортних засобів для перевезення вантажу.

 

Математична модель задачі.

Позначимо:

- кількість суден j-го типу,

кількість вантажу виду к, що підлягає завантаженню в ємкість

Тоді математична модель задачі про розподіл вантажного флоту має вигляд:

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

 

Тут обмеження (5.24) показує, що загальна кількість вантажу, яка завантажена в ємкості кожного типу, не повинна перевищувати сумарну вантажопідйомність цих ємкостей у всіх судах, а обмеження (5.25) говорить про те, що перевезення усіх вантажів повинно бути повністю здійснено.

Задача про розвезення вантажу

Змістовна постановка задачі. Нехай деяка центральна база постачає продукцію (її можна вважати однорідною) на т складів. Розвезення продукції на склади здійснюються однією вантажівкою, причому кожний склад одержує своє замовлення в один прийом - вантажопідйомність вантажівки для цього достатня. Вантажівка може одночасно взяти вантаж, що відповідає не більше ніж к замовленням. Вантажівка може об'їжджати склади за визначеними г маршрутами. Один і той самий І склад може знаходитися на різних маршрутах.

Нехай для кожного складу відома функція витрат залежно, наприклад, від розміру замовлення. Потрібно скласти графік розвезень, забезпечує всіх клієнтів і мінімізує сумарні витрати. Час доставки не враховується. Передбачається, що всі операції по доставці гарантоване можуть бути здійснені протягом деякого періоду часу, що влаштовуєш всіх споживачів.

Під способом розвезення будемо розуміти будь-яку припустимій комбінацію виконання замовлень. Він являє собою m-мірний стовпець» 1-й компонент якого дорівнює одиниці, якщо і-й замовлення в цьому способі задовольняється, і нулю - у противному разі. Для будь-якої реальної задачі при невеликих значеннях т, к і г можна фактично виписати всі такі способи розвезення. Число п цих способів буде залежати неї тільки від перерахованих параметрів, але і від числа складів на кожному маршруті, об'єму замовлень і т.д. Кожному j—му способу розвезення І відповідають витрати Cj.

Нехай при даних конкретних умовах задачі сформована матриць A=[a_ij] способів розвезення, що складається з нулів і одиниць. Стовпці цієї матриці являють собою описані вище способи розвезення, тобто , якщо в j-м способі i -є замовлення задовольняється, і у противному разі. Тепер завдання полягає у виборі найбільш економічної комбінації цих способів.

Математична модель задачі. Введемо змінні: в рівні 1, якщо j посіб розвезення реалізується, і рівні 0 - у противному разі. Тоді математична модель задачі набуває вигляду:

; (5.29)

(5.30)

(5.31)

(5.32)

 

Умова (5.30) означає, що всі замовлення повинні бути задоволені тільки один раз.

 

Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

6.1. Сутність нелінійних зв’язків в економічних системах

6.2. Методи розробки нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем

Поняття: система; емерджентність, детермінована система; стохастична система; динамічна система; нелінійність; траєкторія; аттрактор; бифуркація; нелінійне програмування; цільова функція; оптимальний план; фрактал; графічний метод; метод Лагранжа.

Література: [5], [7], [14], [23], [29], [49].

 

Сутність нелінійних зв’язків в економічних системах

Теорія "нелінійної економіки" істотно відрізняється від теорії "лінійної економіки", хоча таке поняття, як система є… При визначенні нелінійних зв’язків важливе значення має категорія системи.… Важливою якістю будь-якої системи є емерджентність - наявність таких властивостей, які не властиві жодному з…

Методи розробки нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем

Нелінійне програмування - математичні методи визначення максимуму або мінімуму функції за наявності обмежень у вигляді нерівностей або рівнянь.… Цільова функція задач нелінійного програмування полягає в тому, щоб знайти… В загальному вигляді математична модель задачі нелінійного програмування формулюється наступним чином:

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модулю 3

Питання для самоконтролю:

1. Охарактеризуйте сутність цілочислового програмування.

2. Розкрийте напрями формулювання і вирішення задач цілочислового програмування:

3. Які методи використовуються при вирішенні задач цілочислового лінійного програмування. Охарактеризуйте їх.

4. Представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування.

5. В чому полягає метод Гомори і представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування цим методом.

6. В чому полягає метод віток і меж і представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування цим методом.

7. Охарактеризуйте математичну модель цілочислової транспортної задачі.

8. Назвіть види і висвітіть особливості вирішення задач цілочислового лінійного програмування.

9. Назвіть і охарактеризуйте основні поняття, які пов’язані з нелінійними зв’язками в економічних системах.

10. Визначте поняття нелінійного програмування й сутність вирішення задач нелінійного програмування.

11. Охарактеризуйте графічний метод вирішення задач нелінійного програмування при формуванні нелінійних оптимізаційних моделей.

12. Охарактеризуйте метод Лагранжа вирішення задач нелінійного програмування при формуванні нелінійних оптимізаційних моделей.

 

Завдання для самоконтролю:

1. Знайти оптимальний цілочисловий план задачі Z(X) = х₁ - Зх₂ + 5х₃ + 2х₄ –max за умови:

x₁+x₂+x₃ =15

2x₁+ 3x₃+x₄=8,

х_j, > 0, х_j — цілі числа, j = 1, 2, 3, 4.

 

2. Отримати цілочисловий оптимальний план задачі Z(X) x₁— 4х₂ — 2х₃ + Зх₄ —> max за умови

3x₁+x₂+8x₃+x₄=35

x₁+x₃+x₄≤6

x_j≥ 0, х_j — цілі числа, j = 1, 2, 3, 4.

 

3. Контейнер обсягом 5 м³ розташований на контейнеровоз вантажністю 12 т. Контейнер необхідно заповнити вантажем двох найменувань. Маса одиниці вантажу m_j (в тонах), обсяг одиниці вантажу V_j (в м³), вартості Cj (в умовних грошових одиницях) наведені в табл. 6.1.

Таблиця 6.1 - Маса одиниці вантажу m_j (в тонах), обсяг одиниці вантажу V_j (в м³), вартості Cj (в умовних грошових одиницях)

Вид вантажу у	mj	V,	Сj

 

Необхідно завантажити контейнер таким чином, щоб вартість ватажу, шо перевозиться була максимальною.

 

4. Знайти екстремуми функції L(x₁,x₂)=2x₁+x₂ при обмеженнях , .

5. Підприємець вирішив виділити на розширення своєї справи 50 тис. грн. Відомо, якщо на придбання нового устаткування затрачувати х тис. грн., а на зарплату прийнятих працівників у тис. грн., то приріст обсягу продукції складе Q=0.001x^0.4·y^0.2. Як необхідно розподілити виділені грошові ресурси, щоб приріст обсягу продукції був максимальним.

 

6. Загальні витрати виробництва задані функцією Т=0,8х²+0,7ху+0,6у²+800х+500у+1600, де х і у відповідно кількість товарів А і В. Загальна кількість виробленої продукції повинна дорівнювати 400 одиниць. Скільки одиниць товару А і В потрібно виробити, щоб витрати на їх виготовлення були мінімальними?

 

 

Змістовий модуль 4

Оцінка і управління ризиком в економіці

Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці

7.1. Поняття, сутність і зміст невизначеності й ризику

7.2. Сутність та етапи управління ризиком на підприємстві в сучасних умовах господарювання

7.3. Аналіз управління ризиком в економіці

Поняття: ризик; управління ризиком; невизначеність; ступінь невизначеності.

Література: [1], [6], [8], [9], [10], [11], [21], [32], [41], [42], [57], [58], [62], [68], [69], [71], [76], [81], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88], [89].

Поняття, сутність і зміст невизначеності й ризику

 

За останнє десятиріччя відбулись значні структурні зміни в економіці України. Це пов’язано із перебудовою форм власності, трансформації трудового, виробничого потенціалів, зміною в макро- і мікросередовищах підприємств. Невизначеність ринкових умов, зростання рівня стохастичності впливу економічних факторів на результативність діяльності підприємства призводить до зростання ризиків втрати суб’єктами підприємницької діяльності не тільки своїх позицій на ринку, але й їх занепаду.

Таким чином, в сучасних умовах господарювання більшість економічних процесів мають невизначений характер, коли досить складно сказати, як будуть розвиватись події в майбутньому. Це ускладнює процес прийняття управлінських рішень та прогнозування показників діяльності підприємств. В таких умовах зростає рівень невизначеності й ризику. Тому важливого значення набуває визначення змісту, сутності цих понять.

Поняття «невизначеність» означає як постійна мінливість умов, поведінки зв’язків, швидкі зміни в макро- і мікросередовищі підприємства. Невизначеність супроводжував прийняття будь-яких управлінських рішень. Виділяються основні типи невизначеності в економічних задачах при прийнятті управлінських рішень:

об'єктивна (природна) невизначеність;

інформаційна невизначеність, яка характеризується недостатністю або відсутністю відповідної інформації;

невизначеність, яка пов’язана з діяльністю інших суб’єктів підприємницької діяльності;

невизначеність, яка пов’язана з низькою структурованістю й ефективністю організаційної структури підприємств;

невизначеність, що обумовлена нечіткістю, розпливчатістю економічних процесів, явищ, інформації.

Ухвалення рішень в умовах невизначеності є вибором тієї або іншої можливості з їх різноманіття, а сам процес ухвалення рішень нерозривно пов'язана з перетворенням невизначеності у визначеність.

Невизначеність обумовлюється неповнотою, несвоєчасністю, низьким рівнем специфікації, ймовірністю інформації, що пов’язана з діяльністю суб’єктів підприємницької діяльності. В умовах зростання рівня невизначеності відповідно збільшується ризик господарської діяльності підприємств.

Слід вказати, що залежність між рівнем невизначеності економічної ситуації і рівнем ризику досить висока. Чим більше невизначеність, тим більше ризик і навпаки. Тому необхідно обґрунтувати поняття ризику, його сутність, оцінити його рівень і встановити причини його виникнення. Розглянемо поняття «ризик» з позиції різних аспектів діяльності суб’єктів підприємницької діяльності.

Термін «ризик» виходить від грецьких слов ridsikon, ridsa — круча, скала [3]. З позиції формування прибутків або збитків підприємства під ризиком розуміють ймовірність виникнення збитків або недоотримання доходів порівняно з прогнозними варіантами.

Особливу роль в діяльності підприємства відіграють фінансові ризики, які визначаються як ймовірність виникнення непередбачених фінансових втрат в ситуації невизначеності умов фінансової діяльності підприємства [68].

Інвестиційний ризик відображає можливість виникнення непередбачених фінансових втрат в процесі інвестиційної діяльності підприємства. До них відносять ризики реального інвестування, портфельні ризики і ризики інноваційного інвестування.

Ризик – це дія, яка здійснюється сподіваючись на щасливий результат по принципу «повезе – не повезе» [76].

Ризик – це суб’єктивна характеристика невизначеності сценарію реалізації проекту.

Ризик – це об'єктивно-індивідуальна категорія, яка характеризує загрозу, небезпеку виникнення негативних явищ в економічному й організаційному середовищі підприємства.

Ризик - це можливість відхилення від мети, ради досягнення якої ухвалювалося рішення; вірогідність помилки або успіху того або іншого вибору в ситуації з деякими альтернативами; це ситуативна характеристика діяльності, що полягає в невизначеності її результату в можливих несприятливих наслідках у разі «неуспіху»; рівень невизначеності в прогнозі результату [76].

Ризик - вибір управляючих параметрів (управляючих дій), що не гарантує виконання поставленої мети у зв'язку з невизначеністю (характером вірогідності) умов господарювання [58].

Ризик - це діяльність, пов'язана з подоланням невизначеності в ситуації неминучого вибору, в процесі якої є можливість кількісно і якісно оцінити вірогідність досягнення передбачуваного результату невдачі і відхилення від мети [62].

Як видно з теоретичних визначень економічної категорії «ризик», їх об’єднує невизначеність здійснення події в позитивну або негативну сторону. В цьому аспекті виникає необхідність оцінки ризику для мінімізації негативних явищ і забезпечення позитивного результату.

Сутність ризику полягає в співвідношенні мети і результату діяльності між якими існують відхилення. Ступінь цього відхилення і визначає рівень ризику діяльності суб’єктів підприємницької діяльності. Якщо відхилення мети і результату зростає, то і збільшується ризик, якщо навпаки – то останній зменшується.

 

Управління ризиком на підприємстві в сучасних умовах господарювання

В умовах реформування економіки управління ризиком є складним процесом, який включає багато чинників. Управління ризиком складається з чотирьох… Перший блок - це порівняльна характеристика ризику. Суть його полягає в… В другому блоці визначається наскільки значний наявний ризик.

Аналіз заходів управління ризиком в економіці

На підприємстві аналіз заходів щодо управління ризиком спрямований на досягнення основної мети їх діяльності – забезпечення розвитку і складається з… Найефективніші заходи можна потім більш ретельно проаналізувати, щоб вибрати… На наступному етапі розробляється система дій щодо впровадження стратегії управління ризиком. Цей етап передбачає…

Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику

 

8.1. Напрями кількісного оцінювання ступеня ризику

8.2. Оцінка ризику на основі абсолютних і відносних показників

8.3. Допустимий та критичний ризик

8.4 Оцінка ризику ліквідності

 

Поняття: кількісне оцінювання ризику; математичне сподівання; допустимий ризик; критичний ризик.

Література: [1], [6], [8], [9], [10], [11], [21], [32], [41], [42], [57], [58], [62], [68], [69], [71], [76], [81], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88], [89].

 

Напрями кількісного оцінювання ступеня ризику

Оцінка ризику – це систематичний процес виявлення факторів і видів ризику та їх кількісна оцінка, тобто методологія аналізу ризиків поєднує… Оцінка ризику здійснюється в два етапи: якісний і кількісний. В рамках першого… На другому етапі розраховуються кількісні значення окремих ризиків і ризиків підприємства в цілому. Також виявляється…

Оцінка ризику на основі абсолютних і відносних показників

у випадку, коли рішення є альтернативним, тобто можливі лише два наслідки його реалізації, показники ризику розраховуються за такою залежністю: … R = Xн х Рн, (8.5) де Хн – величина збитків у разі настання негативного наслідку рішення;

Допустимий та критичний ризик

В системі оцінки ризику необхідно визначити границі або інтервали, де можна допускати відповідний рівень ризику, а де він є критичним. Тобто… Графічний аналіз полягає в побудові кривої щільності розподілу ймовірностей… Точка допустимого ризику - характеризує найбільш ймовірні збитки по проекту і сподівану або середню віддачу цього…

Оцінка ризику ліквідності

Ризик ліквідності – це форма ризику, яка показує ймовірність погашення зобов’язань підприємством на кожному етапі інвестування грошових коштів у… Для оцінки ризику ліквідності використовують два критерії: період переходу інвестицій у грошові кошти, які в залежності часу їх трансформації бувають:

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модуля 3

Питання для самоконтролю:

1. Назвіть типи невизначеності в задачах ухвалення управлінських рішень.

2. Визначте категорію «ризик» в аспекті розвитку сучасних економічних відносин.

3. Охарактеризуйте аспекти управління ризиком.

4. Назвіть і охарактеризуйте етапи управління ризиком.

5. Назвіть основні напрями аналізу при здійсненні управління ризиком.

6. В чому полягає кількісна оцінка ризику.

7. Які показники використовуються для кількісної оцінки ризику.

8. Охарактеризуйте систему кількісних оцінок ризику в абсолютному виразі.

9. Охарактеризуйте систему показників визначення ризику у відносному виразі.

10. Визначте напрями оцінки допустимого і критичного ризику.

11. Охарактеризуйте напрями оцінки ризику ліквідності.

Завдання для самоконтролю:

Найдіть правильну відповідь у наступним тестових завданнях:

1. Основні типи невизначеності в економічних задачах при прийнятті управлінських рішень наступні:

А) інформаційна невизначеність, яка характеризується недостатністю або відсутністю відповідної інформації;

Б) організаційна невизначеність;

В) математична невизначеність;

Г) об'єктивна (природна) невизначеність.

 

2. Ризик – це:

А) негативні явища, які виникають в обумовленій економічній системі;

Б) можливість відхилення від мети, ради досягнення якої ухвалювалося рішення;

В) система дій, яка спрямована на розвиток підприємства;

Г) вибір управляючих параметрів (управляючих дій), що не гарантує виконання поставленої мети у зв'язку з невизначеністю (характером вірогідності) умов господарювання.

 

3. Якому етапу відповідають наступні дії:

1 етап_________________________________________________________

2 етап_________________________________________________________

3 етап_________________________________________________________

4 етап_________________________________________________________

А) визначення критеріїв оцінки різних заходів по управлінню ризиком;

Б) вибір найбільш адекватних заходів і контроль результатів їх виконання;

В) формування цілей у відповідній сфери діяльності підприємства;

Г) вибір і аналіз заходів по досягненню визначених цілей.

 

4. Розташуйте етапи аналізу заходів управління ризиком у відповідності до їх здійснення:

1 етап_________________________________________________________

2 етап_________________________________________________________

3 етап_________________________________________________________

4 етап_________________________________________________________

5 етап_________________________________________________________

А) використовують систему показників або «набор інструментів», які спрямовані на зниження ризику або формують підходи щодо запобігання появи ризику;

Б) залучення експертів щодо вибору стратегії управління ризиком;

В) аналіз запропонованих заходів, щоб оцінити переваги різних стратегій;

Г) впровадження стратегії і здійснення її моніторингу;

Д) розробка системи дій щодо впровадження стратегії управління ризиком.

1. Емігрант з України включається в гру на фондовій біржі після того як отримав роботу і має стабільний дохід. Заощадивши власні 10000 доларів, він взяв у борг ще 40000 доларів під 10%-річних і вклав всі 50000 доларів в акції однієї з компаній, розраховуючи на річне зростання курсу 20%. Але фактичний курс почав падати з ряду причин і коли він знизився на 40% емігрант вирішив позбутися ненадійних акцій, у результаті чого збитки привели його до банкрутства. Його знайомий американець також вклав власні 50000 доларів в акції тієї ж фірми, а потім продав їх, проте американцю вдалося уникнути банкрутства. Чому збанкрутував емігрант?

2. Необхідно інвестувати тимчасово вільні грошові кошти строком на 2 роки з тим, щоб в кінці отримати суму рівну 1260000 грн. На ринку доступний 2 види фінансових інструментів - дисконтні облігації терміном звернення 1 рік і 3 року (номінальна вартість 126 грн.). Поточна ціна річних облігацій складає 100.8 грн., трирічних, - 64.5 грн. Прибутковість як одного, так і іншого виду облігацій складає 25 %.

Визначити необхідну суму інвестицій при незмінності ставок прибутковості протягом всього терміну інвестування.

Змістовий модуль 5

Економетричне моделювання

Тема 9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія

9.1. Принципи побудови економетричних моделей

9.2. Оцінка зв’язку між факторами і критерії адекватності економетричної моделі

9.3. Сутність мультиколінеарності, напрями її виявлення

9.4. Парна лінійна регресія

Поняття: економетрична модель; екзогенна змінна; ендогенна змінна; випадковий член; коефіцієнт кореляції; коефіцієнт детермінації; парний регресійний аналіз; коефіцієнт парної кореляції; коефіцієнт множинної кореляції; F-тест; t-критерій Ст’юдента; гетероскедастичність; гомоскедастичність; мультиколінеарність.

Література: [17], [18], [19], [20], [22], [28], [34], [35], [36], [44], [45], [46], [50], [59].

Принципи побудови економетричних моделей

Економетричні моделі бувають: 1. Парними – відображають причинно-наслідковий зв’язок між незалежним фактором… Рв = 0,07 + 0,18хЧ, (9.1)

Оцінка зв’язку між факторами і критерії адекватності економетричної моделі

Для оцінки зв’язку між факторами економітеричної моделі використовують критерії: коефіцієнт кореляції і коефіцієнт детермінації. Коефіцієнт кореляції показує ступінь впливу незалежних факторів (х) та залежну… Коефіцієнт кореляції показує, на яку частину середнього квадратичного відхилення змінюється функція у, якщо аргумент х…

Сутність мультиколінеарності, напрями її виявлення

В економетричному моделюванні необхідно враховувати також явище мультиколінеарності. Мультиколінеарність – це явище, яке використовується для опису проблеми, коли… Мультиколлінеарність виникає за рахунок отримання нестрогої залежності одного (або більше) незадовільних умов, і це –…

Парна лінійна регресія

Парний регресійний аналіз відбувається за наступними напрямами: 1. Збір статистичної інформації, яка відображає економічні процесі на… 2. Обробка статистичної інформації, її специфікація. Це важливий етап, оскільки він створює підґрунтя для отримання…

Тема 10. Лінійні моделі множинної регресії

10.1. Сутність кількісного регресійного аналізу

10.2. Напрями побудови лінійної моделі множинної регресії

10.3. Критерії оцінки адекватності лінійної моделі множинної регресії

10.4. Економічна інтерпретації лінійних моделей множинної регресії

 

Поняття: кількісний регресійний аналіз; коефіцієнт регресії; тест Дарбіна-Уотсона.

 

Література: [17], [18], [19], [20], [22], [28], [34], [35], [36], [44], [45], [46], [50], [59].

Сутність кількісного регресійного аналізу

Кількісний регресійний аналіз є продовженням парного регресійного аналізу у випадках, коли залежна змінна у пов’язана з двома або більше незалежними… В загальному вигляді, кількісна регресійна модель має вигляд: y = а0 + а1x1 + а2х2 +…+ аіхі + е, або

Напрями побудови лінійної моделі множинної регресії

На етапі математико-статистичного аналізу проводиться перевірка основних припущень класичного регресійного аналізу, крім того, здійснюється… Для здійснення математико-статистичного аналізу будується матриця коефіцієнтів… На другому етапі для побудови багатофакторної моделі вибираються фактори, що будуть відображати причинно-наслідковий…

Критерії оцінки адекватності лінійної моделі множинної регресії

Статистична оцінка надійності коефіцієнта регресії здійснюється за допомогою t-критерію Ст’юдента. Він застосовується для оцінки тісноти зв'язку між… F-тест використовується для оцінки того, важливе пояснення, яке дає рівняння в… Для перевірки адекватності економетричної моделі використовується тест Дарбіна-Уотсона, який спрямований для перевірки…

Економічна інтерпретації лінійних моделей множинної регресії

На етапі аналізу отриманих результатів здійснюється економічна інтерпретація отриманої економетричної моделі. На цьому етапі обґрунтовується… Розглянемо, приклад, економічного змісту моделі залежності суми капіталу і… (10.34)

Тема 11. Узагальнені економетричні моделі

11.1. Узагальнені економетричні моделі в економіко-математичному моделюванні

11.2. Види узагальнених еконметричних моделей

 

Поняття: узагальнена економетрична модель; узагальнена лінійна економетрична модель; узагальнена нелінійна економетрична модель.

Література: [17], [20], [34], [35], [36].

Узагальнені економетричні моделі в економіко-математичному моделюванні

Узагальнена економетрична модель – це окрема функція чи система функцій (рівнянь), що описує кореляційно-регресійний зв'язок між економічними… Узагальнені економетричні моделі представляють собою окремий клас… 1) економетричні моделі є моделі прикладні (емпіричні);

Види узагальнених економетричних моделей

 

Узагальнені економетричні моделі можуть бути лінійні або нелінійні.

Узагальнена лінійна економетрична модель - це регресійна модель, яка встановлює лінійну залежність між економічними показниками, один з яких є залежною (пояснюваною) змінною, а всі інші – незалежними (пояснюючими) змінними моделі.

Залежна змінна для такої моделі розглядається, як ендогенна змінна, а незалежні змінні – як екзогенні.

, (11.4) де y – залежна (пояснювана) змінна моделі, x1, x2, … , xm – незалежні… Представлена узагальнена модель (11.4) дійсна для всієї генеральної сукупності спостережень за змінними моделі й…

Тема 12. Економетричні моделі динаміки

12.1. Сутність динамічних процесів в економіці

12.2. Аналіз часових рядів економічних показників і побудова економетричних моделей динаміки

12.3. Авторегресійні моделі і аналізі динаміки економетричних процесів і їх прогнозуванні

 

Поняття: динамічний ряд; часовий ряд; рівень рядів; похідні ряди; довжина часового ряду, тренд; трендова модель; сезонні коливання; цикличні скдадові, авторегресія

Література: [20], [63], [80].

 

Сутність динамічних процесів в економіці

Динамічні процеси, які здійснюються в економічних системах, проявляються у вигляді ряду послідовно розташованих в хронологічному порядку значень… В аспекті дослідження динамічних процесів і побудови економетричних моделей… Динамичним рядом або рядом динамікиє послідовність спостережень одного показника, упорядкованих в залежності від…

Таблиця 12.1. Списочна чисельність робітників підприємства

Якщо рівні часового ряду створюються шляхом агрегування часового ряду за визначений проміжок часу, то такі ряди називаються інтервальними часовими… Таблиця 12.2. Фонд заробітної плати робітників підприємства Місяць …  

Аналіз часових рядів економічних показників і побудова економетричних моделей динаміки

Прикладами часових рядів також є щомісячна, щоквартальна, щорічна собівартість перевезення пасажирів, обсяг пасажирів, що перевозяться по депо, або… Маючи в розпорядженні свій часовий ряд для досліджуваного показника і для всіх… Як показує дослідження економічних часових рядів, в них завжди міститься загальна тенденція, яку необхідно виявити.…

Авторегресійні моделі в аналізі динаміки економічних процесів і їх прогнозуванні

 

При оцінки динаміки економічних процесів і їх прогнозуванні необхідно спиратись на обґрунтовану теорію, що встановлює правомочність оцінки і прогнозування за допомогою моделі і помилки вірогідності прогнозу. Оцінка такої помилки за допомогою функції зростання неможлива, тому особливий інтерес представляють авторегресійні моделі.

Авторегресією називається рівняння, що визначає змінну х_j в момент t (або t-й період) через її значення в попередні періоди: (t-1) (t-2)... (t-к). Лінійне авторегресійне рівняння записуємо у вигляді

Х_t = а₁ Х_t-1 + а₂ Х_t-2 + + а_к Х_t-к. (12.17)

Першим етапом дослідження часового ряду змінної Х є виділення загальної тенденції у вигляді функції d(t) і визначення залишків ε_t у формі ε_t = Х_t - d(t) чи ε_{t =} d(х_t).

Якщо залишки ε_t незалежні, тобто не можуть бути представлені як функція часу, то функція d(t) охоплює повністю еволюційну складову змінної Х_t. При цьому залишається знайти закон їх розподілу ε_t і, прийнявши гіпотезу про збереження цього закону розподілу на прогнозований період, побудувати довірчий інтервал для прогнозованої величини Х_t за функцією d(t). Якщо ж залишки ε_t залежні, тобто містять деяку тенденцію, то її можна виявити за допомогою коефіцієнта автокореляції. Проводячи зсув значень ε_t на один рядок і останнє значення переміщаємо на перше місце, одержуємо табл. 12.9.

 

Таблиця 12.9. Залишки змінних ряду динаміки

εt	εt-1
ε1	εn
ε2	ε1
ε3	ε2
…………	…………..
εn	εn-1

 

Обчислюємо циклічний коефіцієнт кореляції між рядами ε_t і ε_t-1 за формулою

r(ε_t, ε_t-1) = . (12.18)

Ця формула (12.18) виходить із звичайної формули для визначення коефіцієнта кореляції, якщо покласти

∑ ε_{t =} ∑ ε_t-1 = 0; (12.19)

∑ (ε_{t -1})² = ∑ (ε_t)² . (12.20)

Формула (12.19) виходить з того, що параметри функції d(t) визначаються за методом якнайменших квадратів, а формула (12.20) - з циклічної табл. 12.9.

Аналогічно, зсовуючи ε_{t на 2,3….К} рядків, одержуємо циклічну таблицю послідовних відхилень.

Таблиця 12.10. Циклічна таблиця послідовних відхилень

t	εt	εt-1	εt-2	………	εt-к+1	εt-к
	ε1	εn	εn-1		εn-k+2	εn-k+1
	ε2	ε1	εn		εn-k+3	εn-k+2
	ε3	ε2	ε1		εn-k+4	εn-k+3
….	….	….	….	….		….
К	εk	εk-1	εk-2		ε1	εn
К+1	εk+1	εk	εk-1		ε2	ε1
К+2	εk+2	εk+1	εk		ε3	ε2
…..	…..	….	….	….	….	….
n	εn	εn-1	εn-2		εn-k+1	εn-k

За даними табл. 12.10 визначаємо всі циклічні коефіцієнти автокореляції:

r(ε_xt ε_xt-j) = , i, j = 1,2,…..K; (12.21)

r(ε_xt-1 ε_xt-j) = . (12.22)

Циклічний коефіцієнт автокореляції не підпорядковується нормальному закону розподілу, його розподіл асиметричний, суттєві величини коефіцієнтів автокореляції при певному рівні значущості різні для позитивних і негативних його значень. 5% - й і 1% - й рівні значущості коефіцієнтів автокореляції подані в спеціальних таблицях. Знайдені значення r₁, r₂… r_n-к-1 перевіряємо по таблиці 5% - х і 1% - х рівнів вірогідності коефіцієнтів автокореляції. Якщо | r_{стат. (n)} | < | r_{5%. (n)} |, то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ε_t; якщо | r_{стат. (n)} | > | r_{1%. (n)} | відкидаємо гіпотезу їх неавтокорельованості.

За циклічними коефіцієнтами автокореляції складаємо матрицю і її обертаємо. Як і в разі звичайної регресії багаточинника, перевіряємо наявність мультиколінеарності кожного з чинників ε_xt-j, j=1,2-k від сукупності інших і зберігаємо тільки лінійно незалежні аргументи.

Будуємо лінійну авторегресійну модель

ε_t = а₁ ε_t-1 + а₁ ε_t-2 + ….+ а_к ε_t-к, (12.23)

що виражає ε_t в період t за допомогою значень ε_t-j, j = 1,2…К за К попередніх періодів. При цьому в рівнянні повинні бути збережені тільки суттєві і лінійно незалежні коефіцієнти.

Якщо виявляються а_j – коефіцієнти, що не задовольняють вказаним вимогам, то модель потребує перерахунку (починаючи з розрахунку автокореляційної матриці більш низького порядку).

Оскільки параметри рівняння тренда визначали за методом найменших квадратів, то в разі його коректного підбору відповідні відхилення підкоряються нормальному розподілу, і, отже, рівняння регресії можна відшукувати в лінійній формі

ℓ_n X_t = a₁ ℓ_n X_t-1 + a₂ ℓ_n X_t-2 +…….+a_k ℓ_n X_t-k + F(t); (12.24)

X_t = a₁ X_t-1 + a₂ ℓ_n X_t-2 +……..+ a_n X_t-k + F(t). (12.25)

Яким повинне бути число членів рівняння, це питання слід вирішувати в поєднанні професійних вимог процесу, що по суті вивчається, з математико-статистичними критеріями. Так, якщо статистичний ряд містить тижневі дані, то особливий інтерес являє чотиричленна модель залежності рівня показника від тижневих рівнів за весь попередній місяць. У разі місячних даних цікава тричленна авторегресія, а для даних, зібраних по роках, – п’ятичленна.

Статистичні критерії покликані встановити відсутність автокорельованості залишків від віднімання з табличних значень ε_t їх розрахункових значень

η_t = ε_t – (a₁ ε_t-1 + a₂ ε_t-2 +…+ a_k ε_t-2k) . (12.26)

Існує декілька статистичних критеріїв. Один з них заснований на порівнянні середнього квадрата послідовних різниць η_t:

. (12.27)

З дисперсією величини

(12.28)

 

Складаємо відношення середнього квадрата послідовних різниць, до середнього квадрата самих величин:

К = . (12.29)

Якщо К_стат., потрапляє в допустиму область при рівні значущості 5%, а саме К_5% (n-k) < К_стат (n-k) < К¹_5% (n-k), то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків η_t, а, отже, і достатності числа членів К авторегресійної моделі.

Якщо ж К_стат (n-k) < К_% (n-k) або К_стат > К_1% (n-k), то відкидаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків η_t і рахуємо число членів рівняння недостатності. У цьому випадку число членів рівняння треба збільшити, якщо довжина ряду дозволяє це.

Користуючись для прогнозу розробленими рівняннями, можна знайти довірчий інтервал для значення прогнозованого показника.

Якщо прогнозований показник рівний, то розмір показника Х_t записуємо у вигляді

- ≤ Xt ≤ + . (12.30)

Викладена методика складання авторегресійних моделей, використані критерії і побудований довірчий інтервал можна застосовувати тільки для великих вибірок, коли довжина ряду n не менше 30.

Помилка прогнозу по отриманих рівняннях визначається за дисперсії ε_t. Оскільки

- Х_t = ε_t, (12.31)

то Β_ер = | ε_t| ≤ t_α σ_ε= P_α, (12.32)

де P_α – задана вірогідність, P_α = 1-α, а t_α - відповідна межа по С (n-k) ступеням свободи Стьюдента:

σ_ε = . (12.33)

Розглянемо приклади складання авторегресійних моделей.

Одночленна модель. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, заданий рядом в графі 2 табл. 12.11. Знайдіть параметри одночленної авторегресійної моделі і спрогнозуйте щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту.

Вирішення

Наявність експоненціального ряду (див. рис. 12.3.) дозволяє розраховувати на придатність одночленної моделі = а₁Х_t-1.

Система нормальних рівнянь для визначення параметра а₁ має вигляд

= а_{1 .} (12.34)

З табл. 12.11. (графи 4 і 5) виходить 367673,4 = 364278,2 а₁

Звідки а_{1 =} = 1,0087 ≈ 1,01.

Одержуємо рівняння = 1,01 Х_t-1. Обчислюємо значення = 1,01 Х_t-1 (графа 6) і знаходимо значення ε_{t =} X_t -Х_t-1 (графа 7) ∑ ε_t = 9,4, що несуттєво в порівнянні з розмірами X_t.

Обчислюємо коефіцієнт циклічної автокореляції r₁. За графами 9 і 10 отримаємо

r₁ = r(ε_t, ε_t-1) = (12.35)

З табл. 12.11 знаходимо n¹ = 15-1=14, r<0, r_5% = -0,479.

Оскільки | r₁| < | r_5%|, кореляція ε_t, ε_t-1 несуттєва.

Аналогічно за графами 12 і 10 (табл. 12.11) одержуємо r₂ = = 0,416, що свідчить про несуттєвість кореляції ε_t и ε_t-2.

У даному випадку переважний критерій Дж. Неймана. Обчислюємо різницю ε_t -ε_t-1 за графами 13 і (ε_t -ε_t-1)² – за графами 14. Одержуємо

K= (12.36)

За табл. 12.11 для n₁ = 14 рівень значущості К_5% рівний 1,2725 при r > 0 і 3,0352 у разі r < 0. Розрахунки свідчать, що коли в генеральній сукупності автокореляція між залишками ε_t відсутня, то в 95% вибірок буде К > 1,272 у випадку r > 0 и К < 3,0352 при <.

У даному прикладі значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості К > 1,2725. Отже, гіпотеза неавтокорельованості залишків ε_t стверджується і авторегресійне рівняння X_t = 1,01 X_t-1 приймається.

Помилка прогнозу при середньоквадратичному відхиленні

σ_ε = . (12.37)

Складаємо

В_ср = ≤ t_α * = P_{a .} (12.38)

При 95%-й гарантійної вірогідності t_α = 2,1 за табл. П.4[12] і помилка прогнозу не перевищить 14,42, що складає приблизно 8%:

- 14,42 ≤ 1,01 X_t-1 ≤ + 14,42 (12.39)

Визначаємо прогноз на 16-й і 17-й періоди з похибкою, що не перевершує 14,42 (рис. 12.3.):

= 1,01 * Х15 = 1,01 * 175,3 = 177,05; (12.40)

= 1,01 Х17 = 1,01 * 175,5 = 177,06. (12.41)

 

 

Таблиця 12.11. Розрахунок параметрів одночленної авторегресійної моделі

t	Xt	Xt-1	Xt Xt-1	Xt-12		εt= Xt-	εt-1	εt* εt-1	εt2	εt-2	еt* еt-2	еt - еt-1	(еt - еt-1)2
	153,1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	153,3	153,1	23470,2	23439,6	154,6	-1,3	5,4	-7,02	1,69	1,7	2,21	5,1	26,01
	148,4	153,3	22749,7	23500,9	154,8	-6,4	-1,3	8,32	40,96	5,4	-34,56	-5,4	29,16
	148,9	148,4	22096,8	22026,6	149,9	-1,0	-6,4	6,4	1,0	-1,3	1,3	-11,0	14,0
	160,4	148,9	23883,6	22171,2	150,4		1,0	10,0	1,0	-6,4	-64,6	11,5	132,25
	160,5	160,4	25744,2	25728,2	162,0	-1,5	10,0	-15,0	2,25	-1,0	1,5		10,89
	157,3	160,5	25246,6	25760,2	162,1	-4,8	-1,5	7,2	23,04	10,0	-48,0	-16,5	272,25
	170,6	157,3	26835,4	24743,3	158,9	11,7	-4,8	-16,5	136,89	-1,5	-17,55	3,3	10,89
	163,9	170,6	27961,3	29104,4	172,3	-8,4	11,7	-98,27	70,56	-4,8	40,32	-7,4	54,76
	164,3	163,9	26928,3	26863,2	165,3	-1,0	-8,4	8,4	1,0	11,7	-11,7	-16,1	259,21
	170,9	164,3	28078,9	26994,5	155,8	15,1	1,0	15,1	228,01	-8,4	-126,84	19,8	292,04
	167,9	170,9	28694,1	29206,8	172,6	-4,7	15,1	-70,97	22,09	-1,0	4,7	-3,2	10,24
	168,1	167,9	28223,9	28190,4	169,6	-1,5	-4,7	7,05	2,25	15,1	-22,65	0,2	0,04
	168,2	168,1	28274,4	28257,6	169,9	-1,7	-1,5	2,55	2,89	-4,7	7,99	-7,1	50,41
	175,3	168,2	29485,5	28291,2	169,9	5,4	-1,7	9,18	29,16	-1,5	-8,4	-	-
	175,5		367673,4	364278,2		9,4		-184,64	661,179		-275,68		1369,15

Рис. 12.3. Одночленна авторегресійна модель:

1-вихідні дані; 2-одночленна авторегресія; 3-вирівнююча гіпербола.

Багаточленна модель. Щомісячна реалізація цегли (в тисячах штук) на базі будівельних матеріалів за 18 місяців представлена в табл. 12.12 (графа 2). Треба скласти модель для прогнозування місячної потреби в цеглі на найближчі місяці.

Вирішення

Розрахунок багаточленної авторегресійної моделі представимо в табл. 12.12.

 

Таблиця 12.12. Розрахунок параметрів багаточленної авторегресійної моделі   t	Xt	Xt-1		εt=Xt-Xt-1	εt-1	εt*εt-1	εt2	εt-εt-1	(εt-εt-1)2	Xt-2
		-	-	-	-	-	-	-	-	-
			16,55	0,55	2,84	-1,5	0,3	-	-	-
			18,75	4,25	0,55	2,34	18,06	-3,7	13,68
			25,37	1,63	4,25	6,93	2,66	2,62	6,86
			29,78	2,22	1,63	3,62	4,92	-0,59	0,35
			35,29	-6,29	2,22	-20,6	86,3	11,51	132,48
			28,68	-7,68	-9,29	71,35	58,98	1,61	2,59
			23,16	-5,16	-7,68	39,63	26,63	-2,62	6,35
			19,55	-4,55	-5,16	23,48	20,70	-0,61	0,37
			16,55	2,45	-4,55	-11,15	6,00	7,0
			20,96	3,04	2,45	7,45	9,24	-0,59	0,35
			26,47	6,53	3,04	19,85	42,64	-3,49	12,18
			36,40	0,6	6,53	3,92	0,36	6,47	41,86
			40,81	0,19	0,6	0,11	0,36	0,41	1,68
			45,22	-1,78	0,19	-0,34	3,17	1,97	3,88
			47,43	-2,43	-1,78	4,33	5,9	0,75	0,56
			49,64	-2,64	-2,43	6,42	6,97	0,21	0,04
			51,24	-2,84	-2,64	7,5	8,07	0,2	0,04
∑						162,28	301,26		272,2

 

Продовження табл. 12.12

Xt*Xt-1	Xt*Xt-2	Xt-1* Xt-2	Xt-12	X 2t-2	0,1175 Xt-1	1,061 Xt-2		εt=Xt-	εt2	εt- εt-1	(εt- εt-1)2
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
					1,99	15,91	17,9	5,1	26,01	-	-
					2,70	18,04	20,74	6,26	39,8	-1,13	1,27
					3,17	24,40	27,57	4,43	19,62	1,83	3,35
					3,76	28,64	32,30	-6,3	39,69	10,73	115,13
					3,05	33,95	37,00	-16,0	25,6	9,7	94,09
					2,46	27,58	30,04	-12,04	144,96	-3,96	15,68
					2,11	22,28	24,38	-9,38	86,49	-2,66	7,07
					1,76	19,09	20,85	-1,85	3,42	-7,52	56,55
					2,23	15,92	18,15	5,95	35,4	-7,80	60,84
					2,82	25,46	22,98	10,02	100,4	-4,07	16,54
					3,87	26,52	29,33	7,67	58,82	2,35	5,52
					4,34	33,20	37,54	3,46	11,97	4,21	17,72
					4,82	39,25	44,07	-1,07	1,14	4,53	20,52
					5,05	43,50	48,55	-3,55	12,6	-2,48	6,15
					5,29	45,62	50,91	-3,91	15,29	0,36	0,12
					5,52	47,74	52,26	-4,26	18,14	0,35	0,12
								15,47	428,33

Використовуючи перші 18 членів ряду, складемо одночленну модель = а₁ Х_t-1. Визначаємо а₁ за методом середніх (табл. 12.12, графи 2.3):

а = (12.42)

Обчислюємо значення = 1,103 Х_t-1 і залишків ε_t = - Х_t (графи 4, 5). Для використання першого критерію автокорельованості складаємо циклічний ряд ε_t-1 (графа 6), обчислюємо ε_{t *} ε_t-1 (графа 7) і ε_t² (графа 8). У результаті одержуємо

r₁ = r(ε_t, ε_t-1) = (12.43)

За табл. 12.12 знаходимо n₁ = 18 – 1 =17 і r > 0, маємо r_1% = 0,475.

Отже, r₁ потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу відкинути гіпотезу неавтокорельованості ε_t.

Таким чином, модель = а₁ Х_t-1 не приймається. До такого ж висновку приводить і другий критерій Дж. Неймана. На підставі граф 8,10 отримаємо

К = (12.44)

 

За табл. 12.12 знаходимо: n₁ = 17 маємо К_1% = 1,035. Значить, К потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу забракувати гіпотезу відсутності автокорельованості ε_t.

Складаємо двочленну модель = а₁ Х_t-1. + а₂Х_t-2. Система нормальних рівнянь для визначення параметрів методом якнайменших квадратів має видгляд:

 

. (12.45)

Визначивши суми для вирішення системи (табл. 12.12, графи 12-16), отримаємо 16289=1728 а₁ + 14241 а₂ ; 14853 = 14241 а₁ + 13187 а₂, звідки а₁ = 0,1175; а2 = 1,061. У графах 17-19 наведені значення Х_t, розраховані по формулі = 0,1175 Х_t-1 + 1,061 Х_t-2 . Відхилення ε_t знаходимо за графами 20 і критерієм Дж. Неймана перевіряємо неавтокорельованість залишків. З граф 21,23

K= . (12.46)

За табл. 12.12 маємо:

К_5% (16) = 1,309 при r > 0;

К_5% (16) = 2,9577 при r < 0.

Отже, розрахункове значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості, що дає підставу для ухвалення гіпотези неавтокорельованості залишків ε_t для затвердження двочленній моделі: = 0,1175 Х_t-1 + 1,061 Х_t-2. При середньоквадратичному відхиленні

σ_ε = = = 5,17 (12.47)

помилка прогнозу В_ср = ≤ t_α * = P_α; при 90%-й гарантійної вірогідності t_α = 1,74 помилка прогнозу не перевищить 8,84.

Прогноз на 19 і 20 періоди Х₁₉ = 55,61; Х₂₀ = 58,20 з 90%-й вірогідністю непереходу за межі

- 8,84 ≤ 0,1175 Х_t-1 + 1,061 Х_t-2 ≤ + 8,84. (12.48)

Таким чином, представлені методики оцінки динаміки економічних процесів і розробки відповідних економетричних моделей динаміки дають змогу приймати управлінські рішення з урахуванням періодів функціонування підприємства та прогнозування економічних показників.

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модулю 5

Питання для самоконтролю:

1. Назвіть основні принципи при побудові економетричних моделей?

2. Охарактеризуйте основні критерії оцінки адекватності економетричних моделей?

3. Що таке мультиколінеарність? Назвіть причини її виникнення.

4. В чому полягає парний регресійний аналіз?

5. В чому полягає кількісний регресійний аналіз? Який вигляд має кількісна регресійна модель?

6. Охарактеризуйте етапи побудови багатофакторної економетричної моделі?

7. Охарактеризуйте t-критерій Ст’юдента і F-критерій Фішера для оцінки адекватності багатофакторної економетричної моделі.

8. Охарактеризуйте тест Дарбіна-Уотсона для оцінки адекватності багатофакторної економетричної моделі.

9. Проінтепретуйте отримані результати на основі розробленої Вами багатофакторної економетричної моделі.

10. Охарактеризуйте узагальнені економетричні моделі.

11. Назвіть види узагальнених економетричних моделей і охарактеризуйте їх.

12. Назвіть основні поняття і визначте сутність динамічних процесів в економіці.

13. Що таке часовий ряд і назвіть напрями його оцінки.

14. Що таке авторегресія і як будуються авторегресійні моделі.

15. Назвіть статистичні критерії оцінки автокорельованості залишків і як вони визначаються.

 

Завдання для самоконтролю:

1. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рівня витрат на виробництво продукції (Рввп) від фондоозброєності праці робітників (ФЗп):

1) побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;

2) визначити коефіцієнти регресії а₀ та а₁, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;

3) визначити коефіцієнти кореляції;

4) визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;

5) обґрунтувати економічну сутність отриманих результатів.

 

Таблиця 12.13. Статистичні дані діяльності підприємств

№ з/п	Рввп, коп./грн.	ФЗп, тис.грн./чол.
	91,7	1,9
	91,2	2,1
	87,7	5,4
	89,2	2,7
	90,2	2,2
	88,8	2,9
	91,7	2,6
	92,8	2,7
	85,7	6,3
	91,1	4,6

 

 

2. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рівня витрат на виробництво продукції (Рввп) від фондовіддачи основних засобів (ФФоз):

1) побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;

2) визначити коефіцієнти регресії а₀ та а₁, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;

3) визначити коефіцієнти кореляції;

4) визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;

5) обґрунтування економічної сутності отриманих результатів.

Таблиця 12.14. Статистичні дані діяльності підприємств

№ з/п	Рввп, коп./грн.	ФФоз, тис. грн./тис. грн.
	91,7	12,9
	91,2	12,6
	87,7	11,9
	89,2	12,3
	90,2	12,4
	88,8	11,6
	91,7	12,7
	92,8	12,9
	85,7	11,2
	91,1	12,8

 

3. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рентабельності реалізації продукції (Ррп) від коефіцієнту вибуття робітників (Квр):

1) побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;

2) визначити коефіцієнти регресії а₀ та а₁, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;

3) визначити коефіцієнти кореляції;

4) визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;

5) обґрунтування економічної сутності отриманих результатів.

Таблиця 12.15. Статистичні дані діяльності підприємств

№ з/п	Ррп, коп./грн.	Квр, %
	4,3	4,1
	4,8	3,3
	5,3	3,5
	6,8	2,8
	5,5	3,9
	5,2	3,6
	6,3	2,9
	7,2	2,7
	6,4	2,9
	7,9	2,1

 

4. Представлені статистичні дані собівартості пасажироперевезень міським електричним транспортом, (табл. 12.16), вирівняти за ковзаною середньою і побудувати графік і обґрунтувати тенденції зміни собівартості пасажироперевезень.

Таблиця 12.16. Статистичні дані собівартості пасажироперевезень по депо

t	Собівартість С, коп
	89,9
	90,9
	87,6
	87,5
	88,2
	89,9
	90,5

Продовження табл. 12.16

	92,8
	92,1
	92,8
	91,8
	93,1

 

5. На основі даних динаміки статистичних показників представлених в табл. 12.17 виявіть загальну тенденцію їх зміни, побудуйте економетричну модель динаміки і розрахуйте прогноз на 2 наступних роки.

Таблиця 12.17. Динаміка статистичних показників

Роки	t	Значення показника, С, коп.	Квартал
			I	II	III	IV
		68,59	72,4	65,88	69,53	66,54
		69,95	72,8	67,34	71,21	68,44
		75,37	74,53	77,49	72,88	76,59
		75,49	79,22	73,21	73,34	76,19
		82,34	77,34	82,29	85,45	87,29
		91,80	88,92	90,72	93,19	94,39

 

6. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, представлений в табл. 12.18. Розрахуйте параметри авторегресійної моделі і складіть прогноз на наступні 2 місяці.

Таблиця 12.18. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів

Період (t)	Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів (Xt), км.
	167,1
	163,3
	168,4
	158,9
	160,4

Продовження табл. 12.18

	160,5
	177,3
	171,6
	173,9
	174,2
	174,8
	171,3
	169,7
	170,2
	173,2
	185,5

 

7. Щомісячна реалізація покрівельних матеріалів (в тисячах штук) заводом за 18 місяців представлена в табл. 12.19. Треба скласти авторегресійну економетричну модель і спрогнозувати місячну потребу в покрівельних матеріалах на 2 наступні місяці.

Таблиця 12.19. Щомісячна реалізація покрівельних матеріалів (в тисячах штук) заводом

Період (t)	Щомісячна реалізація покрівельних матеріалів (Xt), тис. штук

Продовження табл. 2.19

 

Міністерство освіти і науки України

Харківська національна академія міського господарства

 

ПРИКЛАД

ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

 

Альтернативні прості тест-завдання

Альтернативні, побудовані за принципом класифікації і подвійної альтернативи

 

Тест-завдання множинного вибору, побудованих за принципом класифікації

Зробіть правильний вибір з наведеного переліку і обведіть правильну відповідь:

1.13.Квантифікація – це:

а) узагальнена модель дій, необхідних для досягнення поставлених цілей шляхом координації та розподілу ресурсів компанії;

б) місце, де здійснюється купівля-продаж фінансових ресурсів;

в) ризики не піддаються кількісному вимірюванню;

Д) управління підприємством.

 

1.14.Для оцінки величини фінансових ризиків використовують:

а) показники економічного аналізу;

б) показники стратегічного аналізу;

в) статистичні величини;

Г) аналітичні показники.

 

1.15. Математичне сподівання дискретної величини представляє:

а) суму добутків можливих варіантів величини на їх імовірність;

б) суму показників діяльності підприємства;

в) суму результатів математичних розрахунків показників;

Г) суму мінливості реальних даних деякої випадкової величини навколо математичного сподівання.

 

1.16.У відносному виразі ризик визначається:

а) середньо квадратичним відхиленням;

б) математичним сподіванням;

в) коефіцієнтом бета;

Г) відношенням величини максимальних втрат від даного виду діяльності до деякої бази порівнянь.

 

1.17.Ймовірність допустимого ризику визначається за залежністю:

а)F(x) = . в.F(x) = .

б) F(x) = . г.Кр = Х/К

1.18.Коефіцієнт ризикувизначається:

а)F(x) = . в.F(x) = .

б) F(x) = . г.Кр = Х/К

1.19.Критичні ризиком визначаються за залежністю:

а)F(x) = . в.F(x) = .

б) F(x) = . г.Кр = Х/К

 

1.20.Катастрофічний ризик визначається:

а)F(x) = . в.F(x) = .

б) F(x) = . г.Кр = Х/К

 

1.21.Показникдопустимого ризику:

а) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за допустимий критичний рівень;

б) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за граничнодопустимий рівень (таким рівнем є прибуток від проекту);

В) ймовірність того, що втрати по проекту виявляться більшими за граничний катастрофічний рівень (вартість майна підприємця).

 

 

1.22.Показник критичного ризику:

а) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за допустимий критичний рівень;

б) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за граничнодопустимий рівень (таким рівнем є прибуток від проекту);

В) ймовірність того, що втрати по проекту виявляться більшими за граничний катастрофічний рівень (вартість майна підприємця).

 

1.23.Показник катастрофічного ризику:

а) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за допустимий критичний рівень;

б) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за граничнодопустимий рівень (таким рівнем є прибуток від проекту);

В) ймовірність того, що втрати по проекту виявляться більшими за граничний катастрофічний рівень (вартість майна підприємця).

1.24.Розташуйте в логічній послідовності етапи моделювання:

А) аналіз економічної системи, її ідентифікація і визначення достатньої структури для моделювання.

б) верифікація моделі і уточнення її параметрів;

в) уточнення всіх параметрів системи і відповідність параметрів моделі, їх необхідне виправлення, коректування;

Г) синтез і побудова моделі з урахуванням її особливостей і математичної специфікації.

1.25. Розташуйте в логічній послідовності етапи прийняття управлінських рішень:

а) постановка, формулювання проблеми;

б) прийняття рішень;

в) пошук рішень;

г) виявлення проблеми;

д) виконання рішення;

Е) оцінка і аналіз отриманих рішень.

1.26.Для розв'язування задач умовної оптимізації використовуються:

а) метод штрафних функцій;

б) метод Лагранжа;

в) метод синтезу;

Г) модель МакНейра.

1.27.В господарській діяльності можна орієнтуватись на такі критерії:

а) критерії маркетингового дослідження ринку;

б) критерії підбору найбільш подібних одиниць об’єктів;

в) критерії виявлення конкурентних переваг підприємства;

Г) критерії допустимого ризику Кд=0,1.

 

 

1.28.Критерії ризику означають, що на угоду треба йти:

а) критичний ризик складає 0,2;

б) показник допустимого ризику не повинен перевищувати 0,1;

В) в 1 випадку зі 100 можна втратити всю розрахункову виручку.

1.29. Приймаючи рішення, підприємець на підставі попередніх розрахунків повинен орієнтуватись на наступні умови::

а) показник допустимого ризику не повинен перевищувати 0,1;

б) показник критичного ризику не повинен перевищувати 0,01;

в) критерії катастрофічного ризику складає 0,03;

Г) в 10 випадках зі 100 можна втратити весь прибуток від угоди.

1.30. Для оцінки ліквідності ризику використовують:

а) 5 критеріїв;

б) 2 критерія;

в) 6 критеріїв;

Г) 3 критерія.

 

1.31. Терміноволіквідні інвестиції з незначним ризиком – це:

а) час трансформації яких від 7 до 30 днів;

б) час трансформації яких від 1 до 3 місяців;

в) час трансформації яких більше 3 місяців;

Г) час трансформації яких до 7 днів.

 

1.32. Високоліквідні інвестиції з низьким ризиком - це:

а) час трансформації яких від 7 до 30 днів;

б) час трансформації яких від 1 до 3 місяців;

в) час трансформації яких більше 3 місяців;

Г) час трансформації яких до 7 днів.

1.33.Середньоліквідні із середнім ризиком – це:

а) час трансформації яких від 7 до 30 днів;

б) час трансформації яких від 1 до 3 місяців;

в) час трансформації яких більше 3 місяців;

Г) час трансформації яких до 7 днів.

1.34.Малоліквідні об’єкти з високим ризиком – це:

а) час трансформації яких від 7 до 30 днів;

б) час трансформації яких від 1 до 3 місяців;

в) час трансформації яких більше 3 місяців;

Г) час трансформації яких до 7 днів.

Зробіть правильний вибір з наведеного переліку і запишіть номер поряд з відповідною літерою:

1.35. Які критерії використовуються [А] або не використовуються [Б] для оцінки адекватності моделі

1) критерії ліквідності; 6) мультиколінеарність;

T-критерій Ст’юдента; 7) критерії ділової активності.

3) F-критерій Фішера;

4) критерій прибутковості;

5) критерії ризику;

А_________________ Б______________________

1.36. Для оцінки гетероскедастичності застосовуються [А] або не застосовуються [Б] тести або критерії

Тест рангової кореляції Спірмена; 6) тест Глейзера.

2) t-критерій Ст’юдента;

3) F-критерій Фішера;

4) мультиколінеарність;

Тест Голфреда-Квандта;

А_________________ Б______________________

1.37. Для рівняння перевіряється, чи перевищує r² те значення, яке може бути отримано випадково [А] або не перевіряється [Б] критеріями

1) t-критерій Ст’юдента;

2) F-критерій Фішера;

3) тест рангової кореляції Спірмена;

Тест Голфреда-Квандта;

Тест Глейзера;

6) тест на мультиколінеарність;

Коефіцієнт парної кореляції.

А_________________ Б______________________

1.38. Для оцінки надійності коефіцієнта кореляції використовують [А] або не використовують [Б] наступні критерії або тести

1) t-критерій Ст’юдента;

2) F-критерій Фішера;

3) тест рангової кореляції Спірмена;

Тест Голфреда-Квандта;

Тест Глейзера;

6) тест на мультиколінеарність;

Коефіцієнт парної кореляції.

 

 

А_________________ Б______________________

1.39. Основними напрямами перевірки адекватності моделі можуть бути [А] або не бути [Б]

Оцінка фінансового стану

Оцінка обсягу використання основного капіталу підприємства

3) перевірка за допомогою F-теста (F-критерій Фішера);

4) аналіз використання основного капіталу в минулому періоді;

5) перевірка моделі на гомо-гетескедастичність;

6) забезпечення високої ефективності використання основних активів;

Перевірка факторів економетричної моделі на мультиколінеарність.

А_________________ Б______________________

1.40.Випадковий член існує[А] або не існує [Б] за такими причинами

1) невключення пояснювальних змінних;

2) агрегирування змінних;

3) наявності мультиколінеарності;

4) наявності гомоскедастичності;

5) помилкового опису структури моделі;

6) помилкової функціональної специфікації;

7)помилкового розрахунку економічних показників.

А_________________ Б______________________

Тест завдання множинного вибору, побудовані за принципом кумуляції

Зробіть правильний вибір з наведеного переліку і обведіть правильну відповідь:

1.41. У разі моделювання економічних систем задачами аналізу є:

а) задачі пов’язані з задачами синтезу;

б) маркетингові задачі;

в) математичні задачі;

Г) економічні задачі.

1.42. У разі структуризації проблеми стандартною є:

а) проблеми, які потребують вибору оптимального варіанту з багатьох можливих (найбільш широко використаних методів);

б) проблеми, які пов'язані з розробкою довгострокових напрямів дій, які висвітлюють багато аспектів в діяльності підприємств;

в) проблема, пов'язана з одноваріантними розрахунками (розрахунок потреб в матеріальних і трудових ресурсах);

Г) проблеми, які відзначаються невизначеностю як мета діяльності, так і можливими напрямками діяльності.

1.43.У разіструктуризації проблеми високо структурованими є:

а) проблеми, які потребують вибору оптимального варіанту з багатьох можливих (найбільш широко використаних методів);

б) проблеми, які пов'язані з розробкою довгострокових напрямів дій, які висвітлюють багато аспектів в діяльності підприємств;

в) проблема, пов'язана з одноваріантними розрахунками (розрахунок потреб в матеріальних і трудових ресурсах);

Г) проблеми, які відзначаються невизначеності як мета діяльності, так і можливими напрямками діяльності.

1.44.У разіструктуризації проблеми низько структуровані проблеми – це:

а) проблеми, які потребують вибору оптимального варіанту з багатьох можливих (найбільш широко використаних методів);

б) проблеми, які пов'язані з розробкою довгострокових напрямів дій, які висвітлюють багато аспектів в діяльності підприємств;

в) проблема, пов'язана з одноваріантними розрахунками (розрахунок потреб в матеріальних і трудових ресурсах);

Г) проблеми, які відзначаються невизначеністю як мета діяльності, так і можливими напрямками діяльності.

5. Тест-завдання множинного вибору, побудовані за принципом циклічності і перестановки:

1.45. Для прийняття управлінських рішень здійснюють:

а) оцінку і аналіз отриманих рішень;

б) оцінку ліквідності;

В) оцінку параметрів економетричних моделей;

Г) оцінку функціональності.

1.46. Для вирішення задач лінійного програмування симплексним методом необхідно:

а) розрахувати логарифми бар'єрних функцій;

б) здійснювати пошук уздовж траєкторій в просторі змінних задачі, що не проходять через вершини багатокутника;

В) обчислити елементи рядка оцінки плану .

Г) знайти рядок з номером r, де для всіх .

6. Фасетні тест-завдання, побудовані за принципом циклічності:

Знайдіть правильну відповідь для всіх варіантів тверджень:

1.47-1.50. Типова крива щільності розподілу ймовірностей випадкових втрат характеризує:

а) збитки, які будуть мати величину, що дорівнює загальній величині прибутку від проекту;

б) ризик втрат, які сягають розміру всього майна підприємства;

в) ризик втрат, які сягають величини розрахункової виручки від проекту;

Г) найбільш ймовірні збитки по проекту.

47. точка сподіваної або середньої віддачі проекту.48. точка допустимого ризику. 49. точка гранично допустимого критичного ризику.50. точка гранично-катастрофічного ризику.

1.51-1.52. Мультиколінеарність – це поняття, яке використовується для опису проблеми, коли нестрога лінійна залежність між пояснювальними змінними призводить до отримання ненадійних оцінок регресії.

А) вірно Б) невірно

 

розраховують коефіцієнти парної кореляції між факторами економетричної моделі

Схема проведення

 

 

1.51._____________________________1.52.___________________________

7. Фасетні тест-завдання, побудовані за принципом перестановки (відтворення вірної послідовності)

Встановити правильну послідовність, вказуючи порядок цифрами

1.53. Для побудови багатофакторної економетричної моделі здійснюють наступні етапи: - включення або виключення економічних факторів на основі розрахованих… - перевірка основних припущень класичного регресійного аналізу;

Б) метод віток і меж

 

 

1) якщо отримане рішення цілочисельне - сформувати нову оцінку , яка відповідає якнайкращому оптимальному решенню поточної задачі; 2) якщо вибрана задача не має рішення, або її оптимальне рішення гірше прийнятої оцінки, то необхідно виключити цю задачу із списку і перейти до попереднього етапу; 3) вибирається одна із змінних , яка за умовою повинна бути цілочисельною. Проводиться розгалуження, тобто в основний список додається дві підзадачі, для яких зберігаються ті ж обмеження, але для однієї; 4) вибирають задачу з основного списку і знаходять її оптимальне рішення.

1.56.Встановіть відповідність етапу і його характеристиці при здійсненні методу віток і меж

А) перший етап

Б) другий етап

В) третій етап

Г) четвертий етап

 

 

А__________________ Б_________________ В_________________

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Альгин А.П. Грани экономического риска. М., - 1991. 2. Ашманов С. А. Введення в математичну економіку. М.: Наука 1984. 3. Балабанов И.Т. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1996.